Пример . .

Изменение ежеквартальной динамики фонда заработной платы работников фирмы происходило примерно с постоянным темпом роста в течение 5 кварталов. Фонд заработной платы в 1-м квартале составлял 252 ден. ед., а в 5-м квартале — 256,5 ден. ед. Определить прогноз фонда заработной платы работников фирмы в 6-м квартале, используя средний темп роста.

Решение. По условию, изменение фонда заработной платы происходило примерно с постоянным темпом роста в течении 5 кварталов. Поэтому правомерно использовать средний темп роста для расчета прогноза фонда в 6-м квартале. Средний темп роста составит:

,

Таким образом, прогноз величины фонда заработной платы сотрудников фирмы составит:

ден. ед.

Сглаживание временных рядов

Предварительный анализ временных рядов экономических показателей заключается в выявлении аномальных значений уровней ряда, которые не соответствуют реальным возможностям рассматриваемой экономической системы, а также в определении наличия тренда.

Наиболее распространенным приемом для устранения аномальных значений показателей и отсутствия тенденции временного ряда является сглаживание временного ряда. При этом производится замена фактических уровней временного ряда расчетными, что способствует более четкому проявлению тенденции ряда. Скользящие средние позволяют сгладить случайные и периодические колебания временного ряда.

Метод скользящей средней

Наиболее распространенной процедурой сглаживания является метод простой скользящей средней. Сначала для временного ряда определяется интервал сглаживания (m). Если необходимо сгладить мелкие колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим, если нужно сохранить более мелкие колебания, то интервал сглаживания уменьшают. Для первых (m) уровней временного ряда вычисляется их среднее арифметическое значение. Это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление средней арифметической и т. д. В результате такой процедуры получим ряд сглаженных значений. Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда. Действительно, если индивидуальный разброс значений члена временного ряда около своего среднего значения характеризуется дисперсией , то разброс средней из членов временного ряда около того же значения будет характеризоваться меньшей величиной дисперсии, равной . Конкретный выбор числа зависит от специфики исходных данных, при этом в зависимости от (m) первые и последние уровни теряются.. Как правило, выбирают таким образом, чтобы оно удовлетворяло неравенству . Для усреднения можно использовать среднюю арифметическую (простую и с некоторыми весами), медиану и др.

Например, для интервала m=3 сглаженные уровни рассчитываются по формуле

.

( . )

Метод простой скользящей средней дает хорошие результаты в динамических рядах с линейной тенденцией развития.

Для рядов с нелинейной тенденцией развития необходимо применять метод взвешенной скользящей средней. Этот метод отличается от метода простой скользящей средней тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания, суммируются с разными весами.

Экспоненциальное сглаживание

Выравнивание временных рядов может быть произведено методом экспоненциального сглаживания. Суть метода заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес наблюдения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда.

Если для исходного временного ряда соответствующие сглаженные значения уровней обозначить , то экспоненциальное сглаживание производится по рекуррентному соотношению:

,

( . )

где — параметр сглаживания, , величина иногда называется коэффициентом дисконтирования.

Используя рекуррентное соотношение для всех уровней ряда, начиная с первого и кончая моментом уровня t, можно получить, что экспоненциальная средняя, т. е. сглаженное данным методом значение уровня ряда, является взвешенной средней всех предшествующих уровней:

,

( . )

Например, при вес текущего наблюдения равен 0,2. Вес предыдущего уровня будет соответствовать . Для уровня вес составит и т. д.

Обычно для временных рядов в экономических задачах величину параметра сглаживания выбирают в интервале от 0,1 до 0,3.

Начальный параметр принимают равным значению первого уровня ряда или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда.

Указанный порядок выбора величины обеспечивает хорошее согласование сглаженного и исходного временных рядов для первых уровней. Если же при подходе к правому концу ряда сглаженные значения начинают значительно отличаться от соответствующих значений исходного ряда, то целесообразно перейти на другой параметр сглаживания .

Пример 6.

Привести пример один сквозной для мультипликативной модели

и т. д.

Коэффициент автокорреляции и его свойства

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Рассмотрим пример.

Пример 5.1. Расчет коэффициентов автокорреляции уровней для временного ряда расходов на конечное потребление.

Пусть имеются следующие условные данные о средних расходах на конечное потребление (у_t , д. е.) за 8 лет (табл. 5.1).

Таблица 5.1