8. Главные тензорезистивные коэффициенты

Для кубических кристаллов того класса, к которому принадлежит кремний, в системе кристаллографических осей, для описания тензорезистивного эффекта достаточно знать три коэффициента и

В произвольной системе координат, оси которой образуют некоторые углы с кристаллографическими осями, таких, отличных от нуля, коэффициентов может быть 21.

Коэффициенты, произвольной и кристаллографической системам координат, будем обозначать со штрихами или без штрихов, соответственно.

В большинстве практических случаев направление тока в тензорезисторах совпадает с направлением электрического поля. Кроме того, будем считать, что такой ТР расположен в объёме упругого элемента вдоль оси действия одного из главных напряжений , тогда можно записать

,

где относительное изменение удельного сопротивления под действием механического напряжения;

– значение удельного сопротивления свободного и напряжённого ТР,

тензокоэффициент в произвольной системе координат,

компонента тензора напряжения в сокращённой записи (q = 6).

При расчётах, обычно, учитывают только напряжения в плоскости упругого элемента преобразователя. Сделав такое допущение, изменение сопротивления можно представить в виде

где продольное, поперечное и сдвиговое напряжение ТР, произвольно ориентированного в какой-либо кристаллографической плоскости ТР,

- относительное изменение сопротивления ТР.

Из полученной формулы становится понятными названия соответствующих тензорезистивных коэффициентов: – продольный коэффициент, – поперечный и – сдвиговый.

Рассмотрим некоторые частные случаи ориентации тензорезисторов, расположенных на кристаллографических плоскостях (001), (011), и (111), относительно направлений механических напряжений.

1. Продольный эффект имеет место, если в направлении одной кристаллографи­ческой оси действует нормальное напряжение (оно же и главное), например σ₁, ток те­чёт тоже в направлении 1 (плотность тока j₁). Тогда, при σ₁ ≠ 0, σ₂, …, σ₆ = 0; j₁ ≠ 0; j₂ = j₃ = 0, получаем:

2. Поперечный эффект. В этом случае в направлении одной кристаллографи­ческой оси действует напряжение σ₁ (главное напряжение), а ток те­чёт в перпендикулярном к нему направлении, например в направлении 2. Тогда при σ₁ ≠ 0, σ₂, …, σ₆ = 0; j₂ ≠ 0; j₁ = j₃ = 0, так как E_i имеет то же направле­ние, что и j, получаем:

3. Сдвиговый эффект. Пусть действует только сдвиговое напряжение, например σ₄; ток течёт в направлении одной кристаллографической оси, например оси 1. Тогда при σ₄ ≠ 0, σ₁, … σ₃ и σ₅, σ₆ = 0, j₁ ≠ 0; j₂ = j₃ = 0 получаем:

т.е. сдвиговое напряжение σ₄ не оказывает влияния на ток, протекающий в направлении 1. Однако при j₂ ≠ 0, (j₁ = j₃ = 0), сдвиговое напряжение σ₄, хотя и не оказывает влияния на ток j₂, протекающий в направлении 2, но приводит к появлению электрического поля в направлении 3, напряжённость которого будет равна:

Таким образом, сдвиговые напря­жения вызывают появление напряжённости электрического поля, направленной перпендикулярно направлению протекания тока и изменяющейся прямо пропорционально величине этого сдвигового напряжения. При этом не все на­правления равнозначны; это можно показать, проведя расчёт всех возможных вариантов уравнения (1).

Поясним смысл коэффициента Компоненту тензора тензорезистивного коэффициента в сокращённой форме можно записать . По определению причём и – тензоры. Тензор удельного сопротивления определяется компонентами вектора напряжённости , где i = 1, 2, 3; k – компоненты вектора плотности тока, где k = 1, 2, 3. В данном случае Тензор напряжения , где l – направление нормали к грани, m – ось, которой параллельна данная компонента, в данном случае равен .

4. Эффект всестороннего сжатия. Если действует гидростатическое давление p и протекает ток, например, в направлении 1, тогда, при σ₁ = σ₂ = σ₃ = - p; σ₄ = σ₅ = σ₆ = 0; j₁ ≠ 0; j₂ = j₃ = 0, имеем:

=

Итак, коэффициенты тензосопротивления, имеющие место в приведенных случаях, называют соответственно продольными, поперечными, сдвиговыми коэффициентами и коэффициентами сжатия. Приведенные примеры показывают, что соответ­ствующие коэффициенты можно определить экспериментально, прикладывая определенное механиче­ское напряжение, зная удельное сопротивление, измеряя силу то­ка и электрическое напряжение.

Главные тензорезистивные коэффициенты для кремния приведены в табл. 4 для температуры 300К и указанных значений удельных сопротивле­ний.

Т а б л и ц а 4