Расчёт прогиба и механических напряжений для кремниевой мембраны круглой формы

Пусть на жестко закрепленную по контуру мембрану радиусом а и толщиной h действует давление q. Тензорезистор расположен на расстоянии r от центра мем­браны на её обратной, по отношению к приложенному из­быточному давлению, стороне. Радиальное σ_r и тангенциальное σ_t напряжения в этой точке можно рас­считать по формулам:

где ν – коэффициент Пуассона.

Если материал мембра­ны изотропен, то радиаль­ное и тангенциальное на­пряжения на поверхности мембраны не зависят от угла θ. В этом случае напряжения опреде­ляются только расстоянием r от центра мембраны, как показано на приведенном рисунке (рис. 37). Ли­нейная зависимость между приложенным давлением q и механическим напряже­нием справедлива лишь для малых прогибов мембраны (меньших её толщины h), при которых, как предполагается, отсутствуют напряжения в нейтральной плоскости мембраны. На рисунке показано распределение механических напряжений в тензорезисторе, расположенном на круглой мембране.

Рис. 37 Напряжения и в круглой мембране

Учет анизотропии механических свойств кремниевых упругих элементов теоретически может быть произведен с различной степенью приближения к эксперименту. Однако возрастающая при этом сложность решения иногда может оказаться неоправданной. В ряде случаев учёт анизотропии приведет к такому отличию от изотропного случая, которое практически проверить весьма сложно из-за значительного технологического разброса характеристик интегральных преобразователей. Тем не менее, строгие решения, описывающие распределения механиче­ских напряжений в анизотропных кремниевых упругих элементах различной формы, представляют не только теоретический, но и важный практический интерес.

В общем случае, при учете анизотропии упругих свойств кремния радиальное σ_r(r, θ) и тангенциальное σ_t (r, θ) напряжения будут являться функциями не только радиуса но и угла на мембране. Компоненты тензора механических напряжений в системе координат, связанной с ТР, можно выразить через радиальное и тангенциальное напряжения следующим обра­зом:

где угол поворота продольной оси тензорезистора относительно радиус-вектора в точку расположения ТР. Как видно из рисунка:

Таким образом, в системе координат, связанной с плоскостью упругого элемента, угол характеризует анизотропию упругих свойств кремния, а угол – анизотропию тензорезистивных свойств через анизотропию тензорезистивных коэффициентов.

В практических разработках ИТП чаще всего встречаются радиально-тангенциальное расположение ТР. В этом случае для радиальных ТР-

φ = 0;

а для тангенциальных-

φ = 0+90^°;

Сделаем допущение: длина тензорезистора много меньше радиуса мембраны.

Как видно из приведенного рисунка, наиболее интересными точками расположения тензорезистора является центр мембраны и её периферия. Поэтому будем рассматривать, в первую очередь, чувствительность ТР, расположенных в этих зонах. Как показывает анализ, во всех случаях тнзорезисторы можно расположить так, что они будут иметь противоположные знаки приращения сопротивления. Это позволяет создавать на одной мембране полную мостовую схему, в каждом плече которой включён ТР, изменение которого соответствует увеличению чувствительности всего преобразователя. Кроме того, на одной мембране можно разместить несколько мостовых схем для резервирования.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2