3.1.1. Критерий согласия 2

При использовании критерия согласия ² (критерий Пирсона) меру расхождения между эмпирическим и априорным распределениями определяют следующим образом.

Область возможных значений, на которой определена F(x) - априорная функция распределения разбивается на конечное число непересекающихся интервалов – , i = 1, 2,…, L.

Введем обозначение: – априорная вероятность попадания выборочного значения в интервал .

Очевидно, что . Пусть элементов наблюдаемой выборки х₁, х₂,…, х_n принадлежат интервалу .

Ясно, что .

Примем в качестве меры расхождения эмпирического и априорного распределений величину

, (5)

где - экспериментальное число попадания значений случайной величины x в интервал,

L – число интервалов, на которые разбиты все опытные значения величины x,

n – объем выборки,

p_i – вероятность попадания случайной величины x в -й интервал, вычисленная для теоретического закона распределения ( произведение определяет число попаданий в - интервал для теоретического закона ).

Как доказал Пирсон, при n   закон распределения величины (5) стремится к - распределению с S = L - 1 степенями свободы, если только верна гипотеза о распределении .

Если проверяется сложная гипотеза о том, что выборка принадлежит распределению , где неизвестный параметр (скалярный или векторный) распределения , то из эксперимента (по полученной выборке) определяется оценка неизвестного параметра – . При этом S - число степеней свободы ²- распределения равно L – r – 1 , где r – количество оцениваемых параметров распределения. .

Правило проверки гипотезы о принадлежности выборки распределению может быть сформулировано следующим образом: при достаточно большом n ( n > 50) и для заданного уровня значимости  гипотеза отклоняется, если

, (6)

где -  - процентная точка - распределения с степенями свободы.

1. 2. Критерий Колмогорова

Примем в качестве меры расхождения априорного и эмпирического распределения статистику

( ).= , (7)

где – верхняя граница модуля разности для всех полученных значений х.

Распределение этой статистики (случайной величины) при любом n не зависит от

, если только выборка х₁, х₂,… х_n по которой построена принадлежит и эта последняя – непрерывная функция. Однако точное выражение для функции распределения при конечном значении n очень громоздко. А.Н. Колмогоров нашел достаточно простое асимптотическое выражение (при ) для функций :

, z > 0. (8) Таким образом, для больших размеров выборки (при n > 50), используя (8) , получаем

(9) Ряд (9) сходится быстро, и в качестве первого приближения можно ограничиться его первым членом.

Тогда или

(10) Правило проверки гипотезы о согласии априорного и эмпирического распределений на основании критерия Колмогорова формулируется следующим образом: если для наблюдаемой выборки и заданной величины 

, (11) то гипотеза о том, что выборка извлечена из распределения , отвергается.

При проверке сложной гипотезы о принадлежности наблюдаемой выборки распределению где неизвестный параметр ( скалярный или векторный) распределения ( см. п. 3.1.1.), можно использовать статистику

, (12) где - состоятельная оценка параметра (см. п. 7).