2. Властивості нерозкладних матриць.

1. Якщо матриця А нерозкладна, що вона не може мати ні нульових рядків ні нульових стовпчиків.

▼ Справді, якщо j стовпчик нульовий, то S={j} ізольована множина. Якщо нульовий і-ий рядок, то S= ізольована підмножина.

▲

2. Якщо матриця А нерозкладна, а вектор , то вектор

▼Властивість очевидна, оскільки матриця не має нульових рядків.

▲

3. Нехай А - нерозкладна матриця, вектор y 0 , а і нехай z=Ay, T . Якщо при цьому і , то

▼Доведення. Від супротивного.

Якщо позначити і припустити , то , а . Візьмемо і тому і

. Оскільки , то це можливо лише тоді, коли . Отже S - ізольована, що суперечить, що А - нерозкладна.

▲

4. Нехай у - невід’ємний ненульовий вектор ( ), а вектор z=(I+A)y. Позначимо через число координат вектора у, . Тоді при і при . Крім цього, якщо А - нерозкладна, , то у нерівності будемо мати .

▼Доведення. Перш за все, оскільки , то .

Від супротивного. Припустимо, що серед координат вектора x є нульові, тобто множина непорожня. За властивістю 3) знайдеться такий що, , але тоді неможлива нерівність .

▲

5. Якщо А - нерозкладна матриця розмірності n*n, то , тобто всі елементи матриці є строго додатніми.

▼Доведення. Дійсно за властивістю 4) маємо, що

. Досить в якості y взяти

▲

6. Якщо А - нерозкладна, то для будь-якої пари індексів (i,j),

знайдеться натуральне число m таке, що (через позначено відповідний елемент матриці ).

▼Справді, запишемо розклад за формулою бінома Ньютона.

(2)

Нехай спочатку . Серед чисел обов’язково є додатне : в протилежному випадку, як впливає з формули (2), (i,j)-ий елемент матриці дорівнює нулю, а це суперечить властивості 5). Якщо ж i=j, то слід аналогічно до попереднього розглянути матрицю , яка за властивостями 2) і 6) є додатною

7. Для того, щоб матриця А була нерозкладною, необхідно і достатньо, щоб для будь-яких індексів i,j існувала послідовність така що , ,

8. Якщо матриця А нерозкладна, а число з , то в матриці не можна бути ні нульових рядків, ні нульових стовпчиків.

Теорема Фробеніуса-Перрона

Теорема Фробеніуса-Перрона Нерозкладна матриця A має додатнє власне значення _a таке, що модулі всіх решта власних чисел не перевищують _a :

_k| ≤ , k = 1,…,m.

Числу _a відповідає єдиний (з точністю до скалярного множника) власний вектор X_A, всі координати якого ненульові і одинакові за знаком:

Sign(X_A)_I = Sign(X_A)_j , i,j = 1 n.

Тобто вектор X_A можна вибрати додатнім X_A > 0.

Зазначимо, що число _a називається числом Фробеніуса, а вектор X_A – вектором Фробеніуса матриці A ( Ax_a = _ax_a; _a – розв’язок рівняння det(A- I) = 0 ).

Теорема 2 . Якщо квадратна n*n матриця A невід’ємна, то вона має невід’ємне власне число _a ≥ 0 таке, що для будь-якого іншого її власного числа має місце нерівність | | ≤ _a. При цьому існує невід’ємний власний вектор X_A ≥ 0, який відповідає .

Для формулювання наступної теореми введемо позначення:

Теорема 3 (Про оцінки для Фробеніусового числа невід’ємної матриці А).

Якщо квадратна n*n матриця A ≥ 0, то для її Фробеніусового числа мають місце такі нерівності:

≤ _a ≤ R s ≤ _a ≤ S (3)

Якщо матриця A ще й нерозкладна, то всі нерівності в (3) строгі. Вийняток лише у випадку, коли = R, s = S.

Приклад Для матриці A = найти число і вектор Фробеніуса і оцінити число Фробеніуса згідно теореми 3.

Характеристичне рівняння: = 0

² – 1,5 + 0,5 = 0

₁ = 1 ₂ = 0,5 _A = 1 (A) = {0,5; 1}

Вектор X_A шукаємо з системи: Ax = _Ax або (A- _AI)x = 0.

Тоді, наприклад X_A = (3,2).

r = 0,9; R = 1,1; s =1; S = 1.

0,9 ≤ _A ≤ 1,1

_A = 1.