13. Погрешность измерений – мера точности результата

Признание того факта, что результат измерения всегда содержит ошибку, ведет к двум правилам:

1) численное значение полученной из опыта физической величины должно обязательно сопровождаться указанием величины возможной ошибки;

2) единичные измерения недопустимы и всякое измерение должно сопровождаться многократным повторением.

Отдельные, единичные измерения принято называть наблюдениями, а термин «измерение» используется обычно для обозначения совокупности нескольких наблюдений. Полноценное измерение должно состоять не менее, чем из 4, 5 наблюдений. Величину х₀ находят при этом из выражения

,

где n – число наблюдений, а х_i – результат каждого из них.

Для оценки величины возможной ошибки измерения следует указать погрешность измерения, которая не идентична, строго говоря, ошибке δх. Ошибка – это неизвестное экспериментатору отклонение измеренного значения от истинного, а погрешность Δх – это некоторая мера точности результата, которую экспериментатор должен определить и указать. При этом результат приводится в виде . Следует подчеркнуть, что величину Δх, которую называют абсолютной погрешностью измерений, можно определить разными способами.

Представим, что выполнено довольно большое количество наблюдений, для каждого из которых найдена величина δх_i = х_i - . Тогда в качестве погрешности можно указать верхний предел абсолютного значения этой разности, т.е. величину |δx|_макс. Для оценки погрешности можно использовать также среднее квадратичное отклонение

,

квадрат которого, т.е. величину S², называют дисперсией.

В результате анализа любой совокупности наблюдений легко установить, что величина S всегда заметно ниже верхнего предела разности δх_i , т.е. установление погрешности измерения лежит, как видим, на совести экспериментатора.

Можно указать большую погрешность в погоне за надежностью, но ценность результата будет при этом очень низкой. Укажем слишком малую погрешность – наши предсказания могут оказаться ложными.

Весь опыт экспериментальной работы показывает, что в качестве погрешности наиболее целесообразно выбрать величину Δх, которая находится где-то между величинами S и |δx|_макс. Но для того, чтобы это сделать, мы должны знать закон распределения ошибок измерений в реальном эксперименте, чему будут посвящены следующие вопросы.

Заметим, что величина Δх не всегда удобна при сравнении точности измерений различных величин. Для этих целей иногда вводят также относительную погрешность .

14. Гистограмма и распределение Гаусса

Предположим, что все систематические ошибки полностью устранены, так что имеются только случайные ошибки. Рассмотрим распределение измеренных значений величины х в хорошо поставленном эксперименте. С этой целью разобьем весь интервал измеренных значений от х_min до х_max на к одинаковых промежутков шириной

Δх = (х_max – х_min)/к и припишем каждому такому промежутку Δх_i порядковый номер i

(1 < i < к). После этого определим число результатов ΔN_i, попавших в тот или иной промежуток и изобразим это на графике в виде прямоугольника с основанием Δх_i и высотой ΔN_i. Нанесем на график подобные прямоугольники для всех i.

Построенный таким образом график называют гистограммой. На нем при довольно высоком значении общего числа измерений N хорошо видны статистические закономерности, которым обычно подчиняется распределение результатов опытов.

Измеренные значения симметрично группируются около некоторого среднего значения, причем большие отклонения от него встречаются реже, чем малые. Увеличивая N, будем получать все более плавные графики. Перенормируем полученный график, т.е. поставим на оси ординат вместо ΔN_i величину ΔN_i /NΔх, тогда суммарная площадь всех прямоугольников будет равна 1, а площадь каждого из них будет равна вероятности того, что измеренное значение х_i лежит в соответствующем интервале Δх_i.

Ординаты кривой распределения

представляют собой плотность вероятности получения результата х. Если мы выделим на оси абцисс произвольный промежуток а ≤ х ≤ b, то площадь под кривой между отрезками х = а и х = b, будет равна вероятности того, что измеренное значение попадет в этот промежуток.

Полученное нами распределение очень часто встречается на практике и оно называется распределением Гаусса. В аналитической форме нормированное на единицу распределение Гаусса имеет следующий вид

Оно определяется двумя параметрами – х₀ определяет положение пика, а σ – его ширину. Последняя величина характеризует точность эксперимента. Чем меньше σ, тем более узкой является кривая и тем выше точность эксперимента. Квадрат величины σ называют дисперсией распределения. Подчеркнем, что приведенное выше выражение представляет собой распределение значений измеренных физических величин. Вспомним, что х = х₀ + δх, где х₀ – истинное значение, а величина δх – случайная ошибка измерения, поскольку систематическая ошибка в нашем рассмотрении отсутствует. Перенесем начало координат в точку х = х₀, тогда полученная кривая будет описывать распределение ошибок в проведенном эксперименте. Кривые для распределения величин х и случайных ошибок отличаются только положением максимума на оси абцисс.