17. Распределение Стьюдента

При ограниченном числе измерений (n  20) закон распределения ошибок в реальном эксперименте описывается функцией Стьюдента, которая имеет вид

где – гамма-функция, значения которой при 1  m  2 табулированы, а для m < 1 и m > 1 используют рекуррентное соотношение Г(m+1) = mГ(m).

Найдем вид (x, n) для предельно низкого значения n = 2 и δ = 1, воспользовавшись табличными значениями Г(1) = 1 и Г(1,5) = 0,886, а также рекуррентным соотношением Г(1,5) = 0,5Г(0,5). Это выражение, как нетрудно показать, будет иметь следующий вид

Данные распределение называется лоренцовским, которое в сравнении с распределением Гаусса характеризуется более длинными хвостами. Легко показать, что мы не ошиблись при нахождении (х, 2); проинтегрировав это выражение от -∞ до ∞. Получим, что интеграл этот равен единице, как и должно быть для нормированного на 1 распределения ошибок в эксперименте (интеграл этот находится с использованием таблиц).

Сравним оба распределения – гауссовское и лоренцовское – на рисунке, приведенном ниже. Учтем при этом, что (0, 2) = 1/π, а (0, ∞) = 1/ ,

с учетом чего (0, 2)/(х, ∞) = /π = 0,8.

Видно, что высота распределения Стьюдента при n = 2 понижается на 20% в сравнении с высотой распределения Гаусса, а крылья линии становятся более протяженными.

При малых n как доверительный интервал, так и доверительная вероятность зависят от числа измерений n. Существуют справочные таблицы, которые связывают между собой доверительный интервал и доверительную вероятность при разных n. При этом доверительный интервал измеряют обычно в безразмерных единицах, которые определяют по формуле t_s = ε . Эти величины называют коэффициентами Стьюдента.

При работе с распределением Стьюдента вместо таблиц 1, 2 для распределения Гаусса существуют таблицы 3, 4, которые в упрощенном виде приведены ниже. Из таблиц 3, 4 видно, что понижение числа измерений ведет к увеличению доверительного интервала и понижению доверительной вероятности, т.е. к снижению точности измерений.

Таблица 3. Доверительные вероятности Р(ts) при разных n					Таблица 4. Значения ts как функция Р при разных n
ts n	1	2	3		P n	0,50	0,95	0,99
2 10 20 ∞	0,500 0.650 0,670 0,683	0,700 0,930 0,940 0,995	0,800 0,985 0,993 0,997		2 10 20 ∞	1 0,70 0,69 0,675	13 2,26 2,09 1,960	64 3,25 2,86 2,576

18. Определение необходимого числа измерений

Доверительный интервал ε, характеризующий величину случайной погрешности, при заданном числе измерений n можно записать в виде

где t_s – коэффициент Стьюдента, а S – среднее квадратичное отклонение результатов для серии измерений.

Как видно из формулы, доверительный интервал можно уменьшать как за счет увеличения точности измерений (уменьшения S), так и за счет увеличения числа измерений (увеличение n). Возникает чисто практический вопрос: можно ли определить (оценить) оптимальное число измерений, чтобы обеспечить необходимую погрешность при заданной доверительной вероятности? Да, можно, и для такой оценки существует приведенная ниже таблица 5 (упрощенная форма), из которой, задав величину интервала t в безразмерных единицах ε/S и вероятность Р, находят n.

Таблица 5. Значения n как функция t и P

P t	0,5	0,9	0,95	0,99
1 0,5 0,4 0,3	2 3 4 6	5 13 19 32	7 18 27 46	11 31 46 78

Ясно, что уменьшать случайную погрешность ε имеет смысл до тех пор, пока она не сравнится с систематической погрешностью δ₀, определяемой классом точности прибора. На практике для определения оптимального числа измерений n используют обычно следующие равенства: ε = δ₀ и ε = 0,5δ₀, учитывая которые, задают ε, после чего из табл. 5 находят n.