Непрерывно-детерменированные модели (d-схемы)

Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного под­хода на примере использования в качестве математических моде­лей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравне­ниями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных поряд­ков. Если неизвестные — функции многих переменных, то уравне­ния называются уравнениями в частных производных, в противном случае при рассмотрении функций только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Обычно в таких математических моделях в качестве независи­мой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время t. Тогда математическое соотношение для детерми­нированных систем в общем виде будет где и - n мерные векторы;

—вектор-функция, которая определена на неко­тором (n+1)-мерном множестве и является непрерывной.

Так как математические схемы такого вида отражают динами­ку изучаемой системы, т. е. ее поведение во времени, то они назы­ваются D-схемами (англ. dynamic).

В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравне­ние имеет вид

Системы автоматического управления— это частный случай динамических систем, описываемых D-cxeмами и выделенных в отдельный класс моделей в силу их практи­ческой специфики.

Описывая процессы автоматического управления, придержива­ются обычно представления реального объекта в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления). Структура многомерной системы автоматического управления общего вида представлена на рис. 3.3, где обозначены эндогенные переменные: — вектор входных (задающих) воз­действий; —вектор возмущающих воздействий; —век­тор сигналов ошибки; h"(t)—вектор управляющих воздействий; экзогенные переменные: z (t) — вектор состояний систе­мы S; —вектор выходных переменных, обычно .

Современная управляющая система — это совокупность про­граммно-технических средств, обеспечивающих достижение объек­том управления определенной цели. Насколько точно объект управ­ления достигает заданной цели, можно судить для одномерной системы по координате состояния у(t). Разность между задан­ным y_зад (t) и действительным у(t) законом изменения управ­ляемой величины есть ошибка управления h'(t)=y_3im(t)—y(t). Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения входного (задающего) воздействия, т.е. x(t)=y_зад(t), то h'(t)=x(t)—y(t).

Рис. 3.3 Структура системы автоматизированного управления

Системы, для которых ошибки управления h'(t)=0 во все мо­менты времени, называются идеальными. На практике реализация идеальных систем невозможна. Таким образом, ошибка — необходимый субстат автоматического управления, основанного на принципе отрицательной обратной связи, так как для приведения в соответствие выход­ной переменной y(t) ее заданному значению ис­пользуется информация об отклонении между ними. Задачей системы автоматического управ­ления является измене­ние переменной у(t) со­гласно заданному зако­ну с определенной точ­ностью (с допустимой ошибкой). При проек­тировании и эксплуата­ции систем автоматиче­ского управления необходимо выбрать такие параметры системы S, которые обеспечили бы требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе.

Если система устойчива, то представляет практический интерес поведение системы во времени, максимальное отклонение регули­руемой переменной у (t) в переходном процессе, время переход­ного процесса и т. п. Выводы о свойствах систем автоматического управления различных классов можно сделать по виду дифферен­циальных уравнений, приближенно описывающих процессы в си­стемах. Порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициентов полностью определяются статическими и динами­ческими параметрами системы S.

Рассмотрим одноканальную систему автоматического управле­ния S _а, которая описывается D-схемой общего вида F(yⁿ, y^n-1, ..., y, x^m, x^m-1 ,... x)=0,

где х^т и у^п — производные по времени т-го и п-го порядков от функций х и у соответственно. Пусть система S_A, описываемая уравнением (3.6), работает в не­котором режиме, характеризуемом функциями x₀(t) и y₀(t). Обозначим малые отклонения x(t) от x₀ (t) через ∆x(t), a y(t) от y_o(t) через ∆y(t), т. е. x(t) =х_о(t)+∆x(t), y(t)=y₀(t)+∆y(t).

Тогда уравнение (3.6) можно линеаризовать, разложив функцию F(yⁿ, у^п-1 ..., у, х^т, х^т-1, ..., х) в ряд Тейлора и ограничившись его линейными членами относительно приращений ∆х и ∆у, т. е.

(3.7)

Поскольку полученное уравнение (3.7) приближенно описывает рассматри­ваемый процесс, то производные вычисляют при некоторых фиксированных зна­чениях входящих в него переменных, т. е. получается система с постоянными коэффициентами. Кроме того, уравнения получаются линейными относительно ∆x, ∆у и их производных. Это весьма существенно, так как методы решения исcледования линейных систем значительно проще, чем систем общего вида, и более детально разработаны.

Таким образом, для линейных систем автоматического управления, т. е. для систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, можно за­писать

(3.8)

B уравнении (3.8) для простоты предполагается, что точки приложения возмущающих воздействий совпадают с входом системы. Для решения (3.8) можно воспользоваться, например, операторным методом, заменяя дифференци­альное уравнение алгебраическим.

Таким образом, использование D-схем позволяет формализо­вать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем S и оценить их основные характеристики, применяя анали­тический или имитационный подход, реализованный в виде соот­ветствующего языка для моделирования непрерывных систем.