Интерференция и дифракция волн. Стоячие волны. Принцип Гюйгенса.
Интерференцией волн называют явление, которое возникает при наложении двух или нескольких волн и состоящее в устойчивом во времени их взаимном усилении в одних точках пространства и ослаблении в других, в зависимости от соотношения между фазами этих волн.
Интерферировать могут только те волны, которые удовлетворяют следующим условиям:
- волны должны быть синусоидальными,
- частоты колебаний волн должны быть одинаковы, такие волны называются монохроматическими,
- разность фаз интерферирующих волн не зависит от времени, такие волны называются когерентными,
- колебания в волнах совершаются вдоль одного и того же направления.
При интерференции волн отсутствует простое суммирование их энергий, интерференция волн приводит к перераспределению энергии колебаний между соседними областями среды.
Если волна огибает какое-либо препятствие, то за ним также будет наблюдаться интерференционная картина. Такое явление называется дифракцией волны.
Рис. 10.2
На основе наблюдений Гюйгенсом был предложен принцип, который объясняет распространение волны: каждая точка волнового фронта является источником вторичной сферической волны, а огибающая фронтов вторичных волн является фронтом новой волны.
Явления интерференции и дифракции проявляются не только при распространении механических волн, но и световых.
Стоячие волны. Уравнение стоячей волны
При отражении от менее плотной среды фаза колебаний не изменяется, а при отражении от более плотной среды фаза изменяется на . В результате сложения падающей и отраженной волны образуется стоячая волна.
Если уравнение падающей волны s1 = Acos(t – kx), то при отражении от менее плотной среды уравнение отраженной волны S2 = Acos(t + kx). Складывая оба этих уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы косинусов, получим:
s = s1 + s2 = 2A cos kx cos t. (10.6)
Поскольку k = 2/, то имеем
.
(10.7)
Уравнение (10.4) есть уравнение стоячей волны. Видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты , что и у встречных волн.
Величина
является амплитудой стоячей волны. В
точках, в которых выполняется условие
,
(n
= 0, 1, 2, …), (10.8)
амплитуда колебаний максимальна и равна 2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Координаты пучностей:
,
(n
= 0, 1, 2, 3, …). (10.9)
В точках, в которых выполняется условие
,
(n
= 0, 1, 2, …),
амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Координаты узлов:
,
(n
= 0, 1, 2, …). (10.10)
Расстояние между
соседними узлами или пучностями равна
и называется длиной стоячей волны.
Стоячие волны энергии не переносят. В пучностях стоячей волны кинетическая энергия максимальна, а в узлах максимальна потенциальная энергия.
Эффект Доплера
Эффе́кт До́плера — изменение частоты и длины волн, регистрируемых приёмником, вызванное движением их источника и/или движением приёмника.
Рис. 10.3
Рис. 10.4
Источник волн перемещается налево. Тогда слева частота волн становится выше (больше), а справа — ниже (меньше),
т.е. если источник волн догоняет испускаемые им волны, то длина волны уменьшается. Если удаляется — длина волны увеличивается.
Пусть измеряемая наблюдателем частота звуковых волн , а частота колебаний источника волн - ν0 Найдем связь между и ν0 для равномерного движения точечного источника звука И (рис. 10.2) и наблюдателя Н вдоль соединяющей их прямой линии
Рис. 10.2
Фронты синусоидальных звуковых волн давления перемещаются в направлении распространения этих волн с фазовой скоростью . Поэтому, если источник звука И неподвижен по отношению к среде и в некоторый момент t = 0 вблизи него находится сгущение, то к моменту t = T, где T – период гармонических колебаний источника звука, это сгущение переместится на расстояние T, а вблизи источника образуется новое сгущение. Расстояние T между сгущениями равно длине звуковой волны, возбуждаемой в среде неподвижным источником.
В случае движения источника звука (рис. 10.2) за время T сам источник перемещается вправо на расстояние 1Т. Поэтому, расстояние между двумя соседними сгущениями, т. е. длина волны , уменьшится на величину 1Т, а частота ν1 , регистрируемая неподвижным наблюдателем, соответственно увеличится:
(10.11)
Формула (10.8) объясняет различие высоты тона звукового сигнала приближающегося к наблюдателю и удаляющегося от него источника звука (например, поезда). В первом случае 1 > 0 и ν1 > ν0 , а во втором 1 < 0 и ν1 < ν0 .
Если наблюдатель также движется со скоростью 2 навстречу источнику звука (рис. 10.2), то число сгущений звуковой волны, регистрируемых наблюдателем за 1 с:
= 1 + ,
где = 2 /λ1 = (2 /)ν1 – дополнительное число сгущений, регистрируемых наблюдателем в результате перемещения за 1 с на расстояние, численно равное его скорости 2. Таким образом, регистрируемая частота и частота источника ν0 связаны соотношением:
.
(10.12)
Полученная формула справедлива для встречного движения источника и наблюдателя. Можно показать, что для произвольного направления движения источника и наблюдателя формула (10.13) для частоты воспринимаемого звука от движущегося источника примет вид:
.
(10.13)
Если источник и наблюдатель движутся в направлении распространения скорости звуковой волны, то скорости 1 и 2 в формуле (10.14) положительны. Если источник и наблюдатель движутся в противоположных направлениях, то эти скорости отрицательны.
ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНУЮ ТЕОРИЮ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ