Динамика твердого тела

4.4. Закон изменения и сохранения момента импульса

Твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко связанных друг с другом. Оказывается, что количество уравнений для описания отдельных видов движений можно значительно уменьшить, если ввести физические величины, которые относятся ко всему твердому телу.

Рассмотрим произвольную систему частиц (материальных точек), которая перемещается относительно некоторой неподвижной точки О (рис. 4.1). Для каждой точки данной системы запишем второй закон Ньютона

, (4.13)

где (k = 1, 2, …, n) представляют собой внутренние силы взаимодействия всех элементов тела с выбранным элементом i, а – равнодействующая всех внешних сил, действующих на этот элемент, m_i – масса i-го элемента.

Рис. 4.4

Умножим векторно слева уравнение (4.13) на радиус - вектор точки i-го элемента, :

. (4.14)

Преобразуем левую часть:

(4.15)

Величина в (4.3) называется моментом импульса материальной точки (векторное произведение радиус – вектора точки на ее импульс).

Величину , равную векторному произведению радиус-вектора точки на вектор силы, действующей на точку A, на­зывают моментом силы относительно точки О (рис. 4.5). Таким образом, величина в правой части (4.15) есть момент внешней силы, действующей на точку i. Величина в уравнении (4.2), равная:

,

Рис.4.5

есть сумма моментов всех внутренних сил, действующих на точку i. С учетом введенных обозначений уравнение (4.2) примет вид:α

. (4.16)

Просуммируем уравнения движения по всем n элементам системы:

. (4.17)

Левая часть (4.17) представляет собой момент импульса системы, который равен векторной сумме моментов составляющих систему точек:

. (4.18)

Первое слагаемое в (4.17) есть сумма моментов всех внутренних сил, действующих на систему. Можно показать, что эта сумма равна нулю. В самом деле, рассмотрим сумму моментов внутренних сил для двух точек, i и k (рис. 4.4). Учитывая, что по 3-му закону динамики , получим:

,

так как вектор, равный разности , направлен вдоль сил и . Если попарно просуммировать моменты внутренних сил, то получим, что сумма моментов всех внутренних равна нулю.

Уравнение (4.17) для тела из материальных точек можно представить в виде:

. (4.19)

Таким образом, скорость изменения момента импульса системы относительно неподвижной точки равна результирующему моменту относительно той же точки всех внешних сил, действующих на систему. Согласно урав­нению (4.19) момент импульса системы может изменять­ся под действием только суммарного момента всех внеш­них сил.