4.3. Закон сохранения механической энергии

4.3.1. Полная механическая энергия материальной точки

Если части­ца находится в стационарном поле потенциальных сил, то на нее действует потенциальная сила со стороны поля. Кроме того, на части­цу могут действовать и другие силы, имеющие иное про­исхождение, которые называют сторонними силами, . Результирующая всех сил, дейст­вующих на частицу, может быть представлена в виде

Работа всех этих сил затрачивается на прираще­ние кинетической энергии частицы

..

Согласно (4.3) работа сил поля равна уменьшению потенци­альной энергии частицы

.

Подставив последнее выражение в предыдущее для и перенеся влево, получим

.

Отсюда видно, что работа сторонних сил идет на прира­щение величины T+U. Эту величину, сумму кинетичес­кой и потенциальной энергий, называют полной механической энергией, Е = T+U.

Из предыдущих двух уравнений следует, что приращение полной механической энергии частицы в стационарном поле потенциальных сил при перемеще­нии этой частицы из точки 1 в точку 2 можно записать в виде

,. (4.8)

т. е. приращение полной механической энергии частицы на некотором пути равно алгебраической сумме работ всех сторонних сил, действующих на частицу на том же пути.

Если , то полная механическая энергия частицы увеличивается, если же , то уменьша­ется.

Из (4.8) следует, что полная механическая энер­гия частицы может измениться под действием только сто­ронних сил. Отсюда - закон сохранения механической энергии частицы: если сторонние силы отсутствуют или не со­вершают работы, то полная механическая энергия частицы в стационар­ном поле потенциальных сил остается постоянной, т. е.

. (4.9)

4.3.2. Полная механическая энергия системы

Можно показать, что приращение механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внутренних непотенциальных сил и всех внешних сил .

, (4.10)

Если в (4.10) положить A_внешн =0 (это равенство означает, что система является замкнутой) и (что равносильно отсутствию внутренних непотенциальных сил), то получим:

. (4.11)

Это равенство является выражением закона сохранения механической энергии: механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой отсутствуют непотенциальные силы, сохраняется в процес­се движения, Такую систему называют консервативной.

С достаточной степенью точности замкнутой консервативной системой можно считать Солнечную систему.

Если замк­нутая система не является консервативной, т. е. в ней действуют непотенциальные силы, например, силы трения, то механическая энергия такой систе­мы, убывает, так как расходуется на работу против этих сил.

Закон сохранения механической энергии является лишь отдельным проявлением существующего в природе универсального закона сохранения и превращения энер­гии: энергия никогда не создается и не уничтожается, она мо­жет только переходить из одной формы в другую или об­мениваться между отдельными частями материи.

Пример 3.1. Найти работу, совершаемую упругой силой, действующей на материальную точку вдоль некоторой оси х. Сила подчиняется закону , где х  смещение точки из начального положения (в котором .х=x₁), - единичный вектор в направлении оси х.

Найдем элементарную работу упругой силы при перемещении точки на величину dx. В формулу для элементарной работы подставим выражение для силы:

.

Затем найдем работу силы, выполним интегрирование вдоль оси x в пределах от x₁ до x:

. (4.12)

Пример 3.2 Применение теоремы об изменении кинетической энергии.

Найти минимальную скорость , которую надо сообщить снаряду, чтобы он поднялся на высоту H над поверхностью Земли (сопротивлением атмосферного воздуха пренебречь).

Направим ось координат от центра Земли по направлению полета снаряда. Начальная кинетическая энергия снаряда будет затрачена на работу против потенциальных сил гравитационного притяжения Земли. Формулу (3.10) с учетом формулы (3.3) можно представить в виде:

.

Здесь A – работа против силы гравитационного притяжения Земли ( ,  гравитационная постоянная, r – расстояние, отсчитываемое от центра Земли). Знак минус появляется из-за того, что проекция силы гравитационного притяжения на направление движения снаряда отрицательна. Интегрируя последнее выражение и учитывая, что T(R+H)=0, T(R) = mυ²/2, получим:

Решив полученное уравнение относительно υ, найдем:

,

где - ускорение свободного падения на поверхности Земли.