Определение области устойчивости методом Гурвица:

Для устойчивости системы необходимо чтоб все диагональные миноры были больше ноля.

Получим:

, откуда

, подставляя

X(

Y(

Годограф рассматриваемого комплексного вектора отображен на рис. 14

Рис. 14. D-разбиение по общему коэффициенту усиления

Рассмотрим интервал – кандидат на область устойчивости. Рассмотрим любой коэффициент усиления из этой области, например и построим для него годограф Михайлова.

,

U(

V(

Вещественная и мнимая часть:

Рисунок 15. Годограф Михайлова для общего коэффициента усиления

Годограф последовательно против часовой стрелки обходит 3 квадрата и в третьем уходит в бесконечность. Т. к. наша система третьего порядка, то она устойчива при а значит во всей области .

Коэффициент усиления нашей системы , следовательно система не устойчива.

Таким образом, коэффициент усиления не удовлетворяет условию устойчивости. Это необходимо будет учитывать при проектировании корректирующего звена.

VIII. Построим логарифмическую характеристику разомкнутой системы. Проверка устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста – Михайлова.

Построение Л.А.Х. и Л.Ф.Х. разомкнутой системы осуществим, используя среду MatLab 6.

Для построения Л.А.Х. и Л.Ф.Х используется пакет прикладных программ (ППП) Control System Toolbox. ППП предназначен для работы с LTI-моделями (Linear Time Invariant Models) систем управления.

В Control System Toolbox имеется тип данных, определяющих динамическую систему в виде комплексной передаточной функции. Синтаксис команды, создающий LTI-систему c одним входом и одним выходом в виде передаточной функции:

TF([b_m, …, b₁, b₀], [a_n, …, a₁, a₀])

b_m, …, b₁ – значения коэффициентов полинома в числителе передаточной функции,

a_n, …, a₁ – значения коэффициентов полинома в знаменателе передаточной функции.

Построение логарифмических частотных характеристик (диаграммы Боде) осуществляется при помощи команды bode(<LTI-объект>).

Имеем передаточную функцию разомкнутой системы.

Будем работать в командном режиме среды MatLab.

1. Создадим LTI-объект с именем w, для этого выполним:

w=tf([22.0732 15766.59],[0.3 1.1 1 0])

Transfer function:

22.0732 s + 15766.59

------------------------

0.3 s^3 + 1.1 s^2 + s

2. Диаграмму Боде получим, используя команду bode(w).

Рис. 16. Диаграмма Боде разомкнутой системы.

По полученным ЛАХ и ЛФХ можно судить об устойчивости разомкнутой системы. Разомкнутая система не устойчива, так как ЛФХ достигает –180 град при положительных значениях ЛАХ Асимптотическая ЛАХ не удовлетворяет критерию устойчивости Найквиста-Михайлова.

IX. Синтез пассивного корректирующего устройства методом ЛАХ. Определение численных значений параметров коррекции. Выбор места включения корректирующего устройства

Для достижения необходимых параметров быстродействия в систему предлагается включить корректирующее звено. Коррекцию предлагается проводить методом последовательной коррекции и построения желаемой Л.А.Х. (методом Л.А.Х.).

Для синтеза корректирующего устройства будем использовать среду MatLab 6 и программу AmLAHX.

Общие сведения о программе AmLAHX. Программа AmLAHX предназначена для выполнения в среде MatLab 6 (R12.1) или выше и предоставляет пользователю следующие возможности:

1. имеет графический интерфейс, отслеживает различные ошибки (случайные или преднамеренные) в процессе работы (в том числе ошибки в исходных данных);

2. строит асимптотические ЛАЧХ динамических объектов, заданных в виде передаточных функций;

3. строит в диалоговом режиме желаемую ЛАЧХ разомкнутой системы по задаваемым критериям качества, в том числе, программа позволяет выбирать пользователю сопрягающие участки (их наклоны) в зависимости от вида ЛАЧХ объекта управления;

4. обеспечивает автоматическое вычитание из ЛАЧХ разомкнутой системы ЛАЧХ объекта управления и построение таким образом ЛАЧХ регулятора, результатом своей работы возвращает сопрягающие частоты и наклоны асимптот ЛАЧХ регулятора и его передаточную функцию;

5. все ЛАЧХ строятся с указанием наклонов асимптот, пользователь может сам определять цвета каждой ЛАЧХ в отдельности, а также формат надписей на графиках (толщина, высота).

Код программы открыт для свободного изменения. Скачать последнюю версию программы можно по адресу в сети Internet http://2101.net.ru/amlahx. Текущая версия — AmLAHX 1.1 RC.

Итак, необходимое время регулирования (время перерегулирования) составляет: и динамическая ошибка: .

Определяем частоту среза. Для этого используем зависимость времени перерегулирования и динамической ошибки (рис. 18).

Видно, что необходимая частота среза найдется следующим образом:

.

Рис. 17. Зависимость параметров качества системы от величины .

1. Запускаем программу AmLAHX в среде MatLab 6.

amlahx(3)

2. Вводим нашу передаточную функцию и желаемые параметры качества системы.

3. Результатом выполнения программы будут ЛАЧХ и передаточная функция корректирующего устройства.

Рис. 18. Желаемая ЛАЧХ, ЛАЧХ разомкнутой системы, ЛАЧХ регулятора.

Передаточная функция корректирующего устройства будет иметь вид:

,

.

Разобьём передаточную функцию коррекции на звенья:

,

,

,

,

,

Рассчитаем параметры каждого звена отдельно:

1). , , ,

, .

, зададим , тогда .

Так как , то

Рис. 19.Схема пассивного

интегрирующего звена

.

2). , ,

, .

, зададим , тогда

Рис. 20. Схема пассивного

интегрирующего звена

.

Так как , то

3). , ,

Рис. 21.Схема 1-го пассивного

дифференцирующего звена

, .

, зададим , тогда .

, отсюда получим:

,

5). , ,

, .

, зададим , тогда .

Рис. 21. Схема 2-го пассивного

дифференцирующего звена

, отсюда получим:

Рис. 22. Схемная реализация пассивного последовательного корректирующего звена.

Таким образом, получившееся корректирующее звено, при включении его в систему, будет повышать качество переходного процесса.

Спроектированное звено предлагается включать в цепь усиления, то есть либо перед электронным усилителем, либо после него, либо непосредственно в электронную схему усилителя.

X. Построим с помощью метода эквивалентных начальных условий переходной процесс

При нахождении кривой переходного процесса в системе автоматического регулирования возникает трудность. В реальных системах регулирования управляющее и возмущающие воздействия не являются известными функциями времени, а носят случайный характер. В связи с этим приходится рассматривать некоторые типовые входные воздействия. Типовые входные воздействия стремятся выбирать так, чтобы были по возможности близкими к реальным воздействиям в системе автоматического управления.

Для следящих систем переходной процесс может строиться для случая приложения возмущающего воздействия. В качестве типовых используются возмущающие воздействия в виде единичной ступенчатой функции .

Такая входная функция часто встречается в системах автоматического регулирования и представляет собой внезапный скачёк возмущающего воздействия на некоторую величину, например увеличение тока нагрузки генератора, увеличение момента нагрузки двигателя и т. п.

Рис. 23. Переходной процесс скорректированной системы по единичной ступенчатой функции задающего воздействия

Итак, по переходному процессу можно судить о параметрах качества:

- динамическая ошибка

- установившаяся ошибка

с. – время регулирования