Для упрощения записи вводят и выражения:
,
(12)
,
(13)
тогда
.
(14)
Величины
и
также называются замещающими или
упрощающими функциями. Они протабулированы
в некоторых таблицах продолжительности
жизни.
18. Расчет нетто-премий при п-летнем чисто накопительном, временном и, смешанном
непрерывном страховании жизни.
п-летнее чисто накопительное страхование жизни
Нетто-премия будет вычисляться как:
.
(15)
Если же в № 8 воспользоваться упрощающими функциями, то:
(57,51%).
Видно , что аппроксимация законов продолжительности жизни моделью де Муавра несколько искажает результаты вычисления нетто-премий.
п-летнее временное страхование жизни
При этом виде страхования нетто-премия вычисляется по формуле
.
(16)
п-летнее смешанное страхование жизни
Нетто-премия вычисляется по формуле:
.
(17)
Полное страхование жизни, отсроченное на т лет
При этом виде страхования нетто-премия вычисляется по формуле:
.
(18)
п-летнее временное страхование жизни, отсроченное на т лет
(19)
Полное страхование жизни с непрерывно возрастающим пособием
.
(20)
19. Расчет нетто-премий при полном страховании жизни с выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни.
РАСЧЕТ НЕТТО-ПРЕМИЙ ДЛЯ ОСНОВНЫХ ДИСКРЕТНЫХ
ВИДОВ СТРАХОВАНИЯ
Исходя из определения дискретных видов страхования, и понятия актуарной стоимости можно получить следующие формулы для вычисления нетто-премий:
1. Полное страхование жизни с выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни.
Нетто-премия вычисляется как
.
(21)
где
,
(22)
является дискретным анализом непрерывной упрощающей функции .
20. Расчет нетто-премий при п-летнем временном и смешанном страховании жизни с
выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни.
п-летнее временное страхование жизни с выплатой пособия в конце года смерти
.
(23)
3. п-летнее смешанное страхование жизни с выплатой пособия в конце года смерти
.
(24)
где
.
4. Полное страхование жизни с выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни, отсроченное на т лет
.
(25)
5. Полное страхование жизни с ежегодно возрастающем пособием и выплатой пособия в конце последнего года жизни
.
(26)
Обозначив
,
можем записать
в виде
.
Здесь
- это дискретная упрощающая функция.
21. Связь между непрерывным и дискретным видами страхования жизни.
Дискретное страхование жизни- страховая сумма выплачивается в конце года смерти. Вычисления можно проводить непосредственно по таблицам продолжительности жизни.
Вычислив нетто-премии при дискретном страховании жизни, можно вычислить и нетто-премии при соответствующих видах непрерывного страхования. Для того чтобы связать между собой непрерывные и дискретные виды страхования необходимо сделать определенные предположения о законе распределения времени жизни для дробных возрастов.
Обычно
предполагают, что этот закон – равномерный.
Известно, что в этом случае случайные
величины
и
независимы, и
имеет равномерное распределение на
.
Тогда можем получить следующие формулы,
связывающие нетто-премии для соответствующих
непрерывных и дискретных видов
страхования:
.
(27)
,
(28)
,
(29)
,
(30)
.
(31)
Приведенные выше
формулы позволяют вычислять разовые
нетто-премии по непрерывным видам
страхования через характеристики
,
,
,
которые достаточно просто вычисляются
по данным, приводимым в общих таблицах
продолжительности жизни.
22. .Анализ суммарного иска в модели долгосрочного страхования жизни.
Пусть
в момент времени
страховая компания заключила
договоров страхования жизни. Обозначим
через
- премии, а через
- величину страхового пособия,
выплачиваемого по
-
ому договору в случайный момент времени
.
Расположим величины
в порядке возрастания:
.
Тогда в момент времени
капитал компании можно вычислить как
,
и компания не разорится, если будет выполнено условие вида:
,
где
- современная стоимость выплаты
по
-
ому договору страхования. Вероятность
неразорения будет вычисляться по
формуле:
,
(32)
которая
аналогична соответствующей формуле
для краткосрочного страхования жизни.
То есть расчет вероятности неразорения
при долгосрочном страховании производится
так же, как и при краткосрочном страховании
с величинами убытков
.