2.1.2. Методы моделирования

В связи со сложностью многих управленческих ситуаций на этом этапе возникает необходимость представления исследуемого объекта в некоторой форме, отражающей его существенные свойства и замеща­ющей его входе исследования и управления. Для этих целей на подго­товительном этапе могут использоваться методы моделирования, т.е. способы теоретического анализа и практического действия, направленные на разработку и использова­ние моделей.

Объектом моделирования являются различного рода системы, в нашем случае - социально-экономические системы. Это центральное понятие кибернетики. Единого определения этого понятия нет; возможна такая формулировка: система — комплекс взаимосвязанных элементов вместе с отношениями между элементами и между их атрибутами. Исследуемое множество элементов можно рассматривать как систему, если выявлены следующие четыре признака [52]:

-целостность системы, т.е. принципиальная несводимость свойств системы к сумме свойств составляющих ее элементов;

-наличие цели и критерия исследования данного множества эле­ментов;

-наличие более крупной, внешней по отношению к данной, систе­мы, называемой средой;

-возможность выделения в данной системе взаимосвязанных час­тей (подсистем).

Под социально-экономической системой понимается сложная веро­ятностная динамическая система, охватывающая процессы производ­ства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ.

Социально-экономические системы относятся, как правило, к так называемым сложным системам. Сложные системы в экономике обла­дают рядом свойств, которые необходимо учитывать при их моделиро­вании, иначе невозможно говорить об адекватности построенной эко­номической модели, т.е. ее соответствии моделируемому объекту или процессу [52]. Свойства сложных систем, которые необходимо учиты­вать при моделировании:

1. эмерджентность, как проявление в наиболее яркой форме свой­ства целостности системы, т.е. наличие у экономической систе­мы таких свойств, которые не присущи ни одному из составля­ющих систему элементов, взятому в отдельности. Эмерджентность есть результат возникновения между элементами системы так на­зываемых синергических связей, которые обеспечивают увеличе­ние общего эффекта до величины, большей, чем сумма эффектов элементов системы, действующих независимо. Поэтому социаль­но-экономические системы необходимо исследовать и модели­ровать в целом;

2. массовый характер экономических явлений и процессов — зако­номерности экономических процессов не обнаруживаются на ос­новании небольшого числа наблюдений, поэтому моделирова­ние в экономике должно опираться на массовые наблюдения;

3. динамичность экономических процессов, заключающаяся в из­менении параметров и структуры экономических систем под вли­янием среды (внешних факторов);

4. случайность и неопределенность в развитии экономических яв­лений, поэтому экономические явления и процессы носят в ос­новном вероятностный характер и для их изучения необходимо применение экономико-математических моделей на базе теории вероятностей и математической статистики;

5. невозможность изолировать протекающие в экономических сис­темах явления и процессы от окружающей среды, чтобы наблю­дать и исследовать их в чистом виде;

6. активная реакция на появляющиеся новые факторы, способность социально-экономических систем к активным, не всегда пред­сказуемым действиям в зависимости от отношения системы к этим факторам, способам и методам их воздействия.

Выделенные свойства социально-экономических систем, естествен­но, осложняют процесс их моделирования, однако эти свойства следует постоянно иметь в виду при рассмотрении различных аспектов эконо­мико-математического моделирования, начиная с выбора типа модели и кончая вопросами практического использования результатов моде­лирования.

Основной метод исследования систем — метод моделирования. Ос­тановимся подробнее на понятии, классификации моделей, процессе моделирования.

По определе­нию Шеннона: «Модель — это представление объекта, системы или идеи в некоторой форме, отличной от самой целостности» [32]. Мо­дель — это образ реального объекта (процесса) в материальной или идеальной форме (описанный знаковыми средствами или на каком-либо языке), отражающий существенные свойства моделируемого объекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управ­ления [52].

Главной характеристикой модели можно считать упрощение реаль­ной жизненной ситуации, к которой она относится. Поскольку форма модели менее сложна, а не относящиеся к делу данные, затуманива­ющие проблему в реальной жизни, устраняются, модель зачастую по­вышает способность руководителя к пониманию и разрешению вста­ющих перед ним проблем. Модель также помогает руководителю совместить свой опыт и способность к суждению с опытом и суждени­ями экспертов.

Существует ряд причин, обусловливающих использование модели вмес­то попыток прямого взаимодействия с реальным миром [32]. К ним можно отнести:

• сложность организационных ситуаций (поскольку реальный мир организации исключительно сложен и фактическое число переменных, относящихся к конкретной проблеме, значительно превосходит возможности любого человека, постичь его можно, лишь упростив реальный мир с помощью моделирования);

• невозможность проведения экспериментов (определенные экспери­менты в условиях реального мира могут и должны иметь место, но если прямое экспериментирование дорого и требует времени, то на помощь приходят модели);

• ориентация управления на будущее (в условиях, когда невозможно наблюдать явление, которое еще не существует и, может быть, никогда не будет существо­вать, моделирование является единственным систематизированным способ увидеть варианты бу­дущего и определить потенциальные последствия альтернативных ре­шений, что позволяет их объективно сравнивать).

Модели науки управления в наибольшей мере приспособлены к этим целям и как мощное аналитическое средство позволяют преодолевать множество проблем, связанных с принятием решений в сложных ситу­ациях.

В настоящее время существует множество использу­емых современными организациями моделей, а также задач, для решения которых они наиболее пригодны, однако можно выделить три ба­зовых типа моделей. Речь идет о физических, аналоговых и математи­ческих моделях [32].

Физическая модель представляет то, что исследуется с помощью уве­личенного или уменьшенного описания объекта или системы.

Аналоговая модель представляет исследуемый объект аналогом, кото­рый ведет себя как реальный объект, но не выглядит как таковой. Гра­фик, иллюстрирующий соотношения между объемом производства и издержками, — это аналоговая модель. График показывает, как уровень производства влияет на издержки.

В математической модели, называемой также символической, ис­пользуются символы для описания свойств или характеристик объекта или события.

Практические задачи экономико-математического моделирования таковы: анализ экономических объектов и процессов; экономическое прогнозирование, предвидение развития эконо­мических процессов; выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйствен­ной иерархии.

Следует, однако, иметь в виду, что далеко не во всех случаях данные, полученные в результате экономико-математического моделирования, могут использоваться непосредственно как готовые управленческие ре­шения. Они скорее могут быть рассмотрены как «консультирующие» сред­ства. Принятие управленческих решений остается за человеком. Таким образом, экономико-математическое моделирование лишь один из ком­понентов (пусть очень важный) в человеко-машинных системах плани­рования и управления экономическими системами.

Построение модели — это процесс, име­ющий определенные основные этапы [32]. Первый и наиболее важный этап построения модели, способный обеспечить правильное решение управленческой проблемы, состоит в постановке задачи. Правильное использование математики или компьютера не принесет никакой пользы, если сама проблема не будет точно диагностирована. Из того только, что руководитель осведомлен о наличии проблемы как таковой, вовсе не следует факт идентификации истинной пробле­мы. Руководитель обязан уметь отличать симптомы от причин.

После правильной постановки задачи следу­ющий этап процесса — построение модели. Разработчик должен оп­ределить главную цель модели, а также какие выходные нормативы или информацию предполагается получить, используя модель, что­бы помочь руководству разрешить стоящую перед ним проблему. Может случиться, что эта необходимая информация разбросана по многим источникам. К другим факторам, требующим учета при построении модели, сле­дует отнести расходы и реакцию людей. Модель, которая стоит больше, чем вся задача, требующая решения с помощью модели, конечно, не внесет никакого вклада в достижение целей организации. Подобным образом, излишне сложная модель может быть воспринята конечными пользователями как угроза и отвергнута ими.

Таким образом, для построения эффективной модели руководите­лям и специалистам по науке управления следует работать вместе, вза­имно увязывая потребности каждой стороны.

После построения модели ее сле­дует проверить на достоверность. Один из аспектов проверки заключа­ется в определении степени соответствия модели реальному миру. Менеджер должен установить, все ли существенные компоненты реальной ситуации встроены в модель. Проверка многих моделей управления показала, что они несовершенны, поскольку не охватывают всех реле­вантных переменных. Естественно, чем лучше модель отражает реаль­ный мир, тем выше ее потенциал как средства оказания помощи руко­водителю в принятии хорошего решения. Однако модель не должна быть сложной в использовании.

Второй аспект проверки модели связан с установлением степени, в которой информация, получаемая с ее помощью, действительно помо­гает руководству решить проблему. Хороший способ проверки модели заключается в опробовании ее на ситуации из прошлого.

После проверки на достоверность модель гото­ва к использованию. Это кажется очевидным, но зачастую этот этап оказывается одним из самых тревожных моментов построения модели. Согласно обследованию отделов, анализирующих операции на корпо­ративном уровне, лишь около 60 % моделей науки управления были использованы в полной или почти полной мере. В других обследовани­ях также установлено, что финансовые руководители американских кор­пораций и западно-европейские управляющие маркетингом недоста­точно широко используют модели для принятия решений. Основная причина недоиспользования моделей руководителями, возможно, за­ключается в том, что они их опасаются или не понимают.

Если модели науки управления создаются специалистами штабных служб (а так обычно и бывает), линейные руководители, для которых они предназначены, должны принимать участие в постановке задачи и определении требований по информации, получаемой благодаря моде­ли. Согласно исследованиям, когда это имеет место, применение моде­лей увеличивается на 50 %. Кроме того, руководителей следует научить использовать модели, объяснив среди прочего, как модель функциони­рует, каковы ее потенциальные возможности и ограничения.

Даже если применение модели оказалось успеш­ным, почти наверняка она потребует обновления. Руководство может обнаружить, что форма выходных данных неясна или желательны до­полнительные данные. Если цели организации изменяются таким об­разом, что это влияет на критерии принятия решений, модель необ­ходимо соответствующим образом модифицировать. Аналогичным образом, изменение во внешнем окружении, например появление новых потребителей, поставщиков или технологии, может обесценить допущения и исходную информацию, на которых основывалась модель при построении.

Перей­дем теперь непосредственно к процессу экономико-математического моделирования, т.е. описания экономических и социальных систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Эта разновид­ность моделирования обладает рядом существенных особенностей, свя­занных как с объектом моделирования, так и с применяемыми аппа­ратом и средствами моделирования, поэтому целесообразно более детально проанализировать последовательность и содержание его эта­пов [52].

На этапе постановки экономической проблемы и ее качественного анализа требуется сформулировать сущность проблемы, принима­емые предпосылки и допущения, а также необходимо выделить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру и взаи­мосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипо­тезы, объясняющие поведение и развитие объекта.

На этапе построения математической модели происходит формализации эконо­мической проблемы, т.е. выражение ее в виде конкретных математиче­ских зависимостей (функций, уравнений, неравенств и др.). Здесь определяется тип экономико-математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче, уточняются конкретный перечень переменных и параметров и форма связей. Для некоторых слож­ных объектов целесообразно строить несколько разноаспектных моде­лей. При этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны объек­та, а другие стороны учитываются агрегированно и приближенно. Оправдано и стремление построить модель, относящуюся к хорошо изученному классу математических задач, что может потребовать неко­торого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающего основных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситу­ация, когда формализация проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре.

На этапе математического анализа модели математиче­скими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решения. В частности, важный момент —доказательство существо­вания решения сформулированной задачи. При аналитическом иссле­довании выясняется, единственно ли решение, какие переменные могут входить в решение, в каких пределах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Однако модели сложных экономиче­ских объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследо­ванию. В таких случаях переходят к численным методам исследования.

При подготовке исходной информации в экономических задачах математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации и возникают сложности, обусловленные принципиальной возможностью подготовки информации требуемого качества и затратами на подго­товку информационных массивов. В процессе подготовки информации используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики для орга­низации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д. При системном экономико-математическом моделировании резуль­таты функционирования одних моделей служат исходной информаци­ей для других.

Этап численного решения включает разработку алгоритмов чис­ленного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосред­ственное проведение расчетов; при этом значительную трудность со­ставляет большая размерность экономических задач. Обычно расчеты на основе экономико-математической модели носят многовариантный характер. Многочисленные модельные эксперименты, изучение пове­дения модели при различных условиях возможно проводить благодаря быстродействию современных ЭВМ. Численное решение существенно дополняет результаты аналитического исследования, а для многих мо­делей — единственно возможное.

При анализе численных результатов и их применении решается важнейший вопрос о правильности и полноте результа­тов моделирования и применимости их как в практической деятельно­сти, так и в целях усовершенствования модели, поэтому в первую оче­редь должна быть проведена проверка адекватности модели по тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных. Другими слова­ми, должны быть произведены верификация (проверка правильности структуры модели) и ее валидация (проверка соответствия данных, по­лученных на основе модели, реальному процессу).

Перечисленные этапы экономико-математического моделирования находятся в тесной взаимосвязи, в частности могут иметь место воз­вратные связи этапов. Так, на этапе построения модели может выяс­ниться, что постановка задачи или противоречива, или приводит к слишком сложной математической модели. В этом случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована.

Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает на этапе подготовки исходной информации. Если необходимая информация отсутствует или затраты на ее подго­товку слишком велики, приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ее формализации, чтобы приспособиться к доступной иссле­дователю информации.

Выше уже было сказано о циклическом характере процесса модели­рования. Недостатки, которые не удается исправить на тех или иных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Однако ре­зультаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Можно начать исследование с построения простой модели и, получив полезные результаты, перейти затем к созданию более сложной и более совершенной модели, включающей в себя новые условия и более точ­ные математические зависимости.

Первая класси­фикация экономико-математических моделей (рис 2.2) была приведена в моно­графии Т. Нейлора «Машинные имитационные эксперименты с моде­лями экономических систем» в 1971 г. [10]:

Рис. 2.2. Группы экономико-математических моделей по Т.Нейлору

Однако и в настоящее время единой системы классификации моде­лей не существует. Обычно выделяют более десяти основных признаков их классификации [1, 10, 14, 22, 41, 52]. Обобщенно классификация экономико-математических моделей представлена в табл. 2.1.

Рассмотрим выделенные классификационные признаки подробнее.

По общему целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые при изучении об­щих свойств и закономерностей экономических процессов, и приклад­ные, применяемые в решении конкретных экономических задач анали­за, прогнозирования и управления.

Таблица 2.1 Классификация экономико-математических моделей

Признак классификации	Экономико-математические модели
Общее целевое назначение	Теоретико-аналитические; прикладные.
Степень агрегирования объектов моделирования	Макроэкономические; микроэкономические
Конкретное назначение	Балансовые; трендовые; оптимизационные; имитационные
Тип используемой в модели информации	Аналитические; идентифицируемые
Фактор времени	Статические; динамические
Фактор неопределенности	Детерминированные; стохастические
Тип математического аппарата	Матричные модели; модели линейного и нелинейного программиро­вания; корреляционно-регрессионные модели; модели теории массового обслуживания; модели сетевого планирования и управления; модели теории игр
Тип подхода к изучаемым социально-экономическим системам	Дескриптивные; нормативные

По степени агрегирования объектов моделирования модели делятся на макроэкономические и микроэкономические, хотя между ними и нет четкого разграничения. К первым из них относят модели, отражающие функционирование экономики как единого целого, в то время как мик­роэкономические модели связаны, как правило, с такими звеньями эко­номики, как предприятия и фирмы.

По конкретному предназначению, т. е. по цели создания и примене­ния, выделяют:

• балансовые модели, выражающие требование соответствия на­личия ресурсов и их использования;

• трендовые модели, в которых развитие моделируемой экономи­ческой системы отражается через тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей;

• оптимизационные модели, предназначенные для выбора наилуч­шего варианта из определенного числа вариантов производства, распределения или потребления;

• имитационные модели, предназначенные для использования в про­цессе машинной имитации изучаемых систем или процессов, и др.

По типу информации, используемой в модели, экономико-математи­ческие модели делятся на аналитические, построенные на априорной информации, и идентифицируемые, построенные на апостериорной информации.

По учету фактора времени модели подразделяются на статические, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени, и ди­намические, описывающие экономические системы в развитии.

По учету фактора неопределенности модели делятся на детермини­рованные, если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями, и стохастические (вероятностные), если при задании на входе модели определенной совокупности значений на ее выходе могут получаться различные результаты в зависимости от дей­ствия случайного фактора.

По типу математического аппарата, используемого в модели, т.е. по характеристике математических объектов, включенных в модель, могут быть выделены матричные модели, модели линейного и нели­нейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирова­ния и управления, модели теории игр и т.д.

По типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам вы­деляют дескриптивные и нормативные модели. При дескриптивном (описательном) подходе получают модели, предназначенные для опи­сания и объяснения фактически наблюдаемых явлений или для про­гноза этих явлений. В качестве примера дескриптивных моделей мож­но привести названные ранее балансовые и трендовые модели. При нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а тем, как она должна быть устроена и как должна действовать согласно определенным критериям.

Проблемы моделирования. Как все средства и методы, модели науки управления в случае их применения могут привести к ошибкам. Эффек­тивность модели иногда снижается действием ряда потенциальных по­грешностей. Любая модель опирается на не­которые исходные допущения, или предпосылки, которые могут не поддаваться оценке и не могут быть объективно проверены. Точность модели за­висит от точности предпосылок. Модель нельзя использовать для прогнозирования, например, потребности в запасах, если неточны про­гнозы сбыта на предстоящий период. В дополнение к допущениям по поводу компонентов модели руко­водитель формулирует предпосылки относительно взаимосвязей внут­ри нее. Точ­ность модели зависит также от точности этих взаимосвязей.

Основная причина недостоверности предпосылок и других затруднений — ограниченные возможности в получении нужной информации, которые влияют и на построение, и на использование моделей. Точность модели определяется точностью информации по проблеме. Если ситуация исключительно сложна, спе­циалист по науке управления может быть не в состоянии получить ин­формацию по всем релевантным факторам или встроить ее в модель. Если внешняя среда подвижна, информацию о ней следует обновлять быстро, но это может быть нереализуемо или непрактично.

Иногда при построении модели игнорируются существенные аспек­ты, поскольку они не поддаются измерению. Например, модель опре­деления эффективности новой технологии будет некорректной, если в нее встроена только информация о снижении издержек в соответствии с увеличением специализации. В общем, построение модели наиболее затруднительно в условиях неопределенности. Когда необходимая ин­формация настолько неопределенна, что ее трудно получить исходя из критерия объективности, руководителю, возможно, целесообразнее положиться на свой опыт, способность к суждению, интуицию и по­мощь консультантов.

Модель нельзя считать эффективной, если ею не пользуются. Основная причина неиспользования модели заключа­ется в том, что руководители, которым она предназначена, могут не вполне понимать получаемые с помощью модели результаты и потому боятся ее применять. Для борьбы с этим возможным страхом специали­стам по количественным методам анализа следует значительно больше времени уделять ознакомлению руководителей с возможностями и по­рядком использования моделей. Руководители должны быть подготов­лены к применению моделей, а высшему руководству следует подчер­кивать, насколько успех организации зависит от моделей и как они повышают способность руководителей эффективно планировать и кон­тролировать работу организации. Согласно ряду исследований уро­вень методов моделирования в рамках науки управления превосходит уровень использования моделей. Причинами также являются недоста­ток знаний и сопротивление переменам.

Выгоды от использования модели, как и дру­гих методов управления, должны с избытком оправдывать ее стоимость. При установлении издержек на моделирование руководству следует учи­тывать затраты времени руководителей высшего и низшего уровней на построение модели и сбор информации, расходы, время на обучение, стоимость обработки и хранения информации.

Существует огромное множество конкретных моделей, использу­емых для разработки управленческих решений. Их число также велико, как и число проблем, для разрешения которых они были разработаны [1, 10, 14, 22,41,52].

В общем виде в составе экономико-математических моделей можно выделить следующие:

• модели линейного программирования;

• оптимальные экономико-математические модели (имитацион­ные модели, модели сетевого планирования и управления);

• модели анализа динамики экономических процессов;

• модели прогнозирования экономических процессов (трендовые мо­дели на основе кривых роста, адаптивные модели прогнозирования);

• балансовые модели;

• эконометрические модели;

• прочие прикладные модели экономических процессов (модель спроса и предложения, модели управления запасами, модели те­ории массового обслуживания, модели теории игр).

Рассмотрим подробнее некоторые из перечисленных моделей, наиболее часто использующиеся в практике управления.

Модели теории игр. Одна из важнейших переменных, от которой зависит успех организации, — конкурентоспособность. Спо­собность прогнозировать действия конкурентов означает преимуще­ство для любой организации. Теория игр — это метод моделирования воздействия принятого решения на конкурентов.

Теорию игр изначально разработали военные с тем, чтобы в страте­гии можно было учесть возможные действия противника. В бизнесе игровые модели используются для прогнозирования реакции конку­рентов на изменение цен, новые кампании поддержки сбыта, предло­жения дополнительного обслуживания, модификацию и освоение но­вой продукции. Если, например, с помощью теории игр руководство устанавливает, что при повышении цен конкуренты не сделают того же, оно, вероятно, должно отказаться от этого шага, чтобы не попасть в невыгодное положение в конкурентной борьбе.

Теория игр используется не так часто, как другие описываемые здесь модели, так как ситуации реального мира зачастую очень сложны и настолько быстро изменяются, что невозможно точно спрогнозировать, как отреагируют конкуренты на изменение тактики фирмы. Тем не менее, теория игр полезна, когда требуется определить наиболее важные и требующие учета факторы в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Эта информация важна, поскольку позволяет руководству учесть дополнительные переменные или факторы, могу­щие повлиять на ситуацию, и тем самым повышает эффективность ре­шения [32].

Модели теории массового обслуживания используются для определе­ния оптимального числа каналов обслуживания по отношению к потребности в них. К ситуациям, в которых модели теории массового обслуживания могут быть полезны, можно отнести ожидание клиентами банка свободного кассира, очередь грузовиков под разгрузку на склад. Если, например, клиентам приходится слишком долго ждать кассира, они могут решить перенести свои счета в другой банк. Подобным обра­зом, если грузовикам приходится слишком долго дожидаться разгруз­ки, они не смогут выполнить положенное количество поездок за день.

Таким образом, принципиальная проблема заключается в уравнове­шивании расходов на дополнительные каналы обслуживания: требует­ся больше людей для разгрузки грузовиков, больше кассиров и потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального (грузовики не могут сде­лать лишнюю поездку из-за задержек под разгрузкой, потребители уходят в другой банк из-за медленного обслуживания).

Так, модели очередей снабжают руководство инструментом определения оптимального числа каналов обслуживания, которые необходи­мо иметь, чтобы в случаях чрезмерно малого и чрезмерно большого их количества сбалансировать издержки [10, 32].

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований простейший (пуассоновский).

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления за время t равно k требований задается формулой:

. (2.1)

Важная характеристика систем массового обслуживания — время об­служивания требований в системе. Время обслуживания одного требо­вания — это, как правило, случайная величина и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории, особенно в практических приложениях, получил экспоненци­альный закон распределения времени обслуживания. Функция распре­деления для этого закона имеет вид:

, (2.2)

т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит неко­торой величины t, определяется этой формулой, где — параметр экс­поненциального закона распределения времени, необходимого для об­служивания требований в системе, т.е. величина, обратная среднему времени обслуживания :

. (2.3)

Рассмотрим аналитические модели наиболее распространенных си­стем массового обслуживания с ожиданием, т.е. таких систем, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения ка­налов.

Общая постановка задачи состоит в следующем. Система имеет n обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром .

Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслужи­вания.

Время обслуживания каждого требования — случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром .

Системы массового обслуживания с ожиданием можно разбить на две большие группы: замкнутые и разомкнутые. К замкнутым относят­ся системы, в которых поступающий поток требований возникает в са­мой системе и ограничен. Например, мастер, задача которого — налад­ка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится потенциальным источником требова­ний на накладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно. Если питающий источ­ник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток тре­бований можно считать неограниченным.

Отмеченные особенности функционирования систем этих двух ви­дов накладывают определенные условия на используемый математи­ческий аппарат. Расчет характеристик работы систем массового обслу­живания различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний систем (так называемые формулы Эрланга).

Рассмотрим алгоритмы, предназначенные для расчета качества функционирования разомкнутой системы массового обслуживания с ожида­нием.

При изучении таких систем рассчитывают различные показатели эффективности обслуживающей системы. В качестве основных показа­телей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заня­ты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очере­ди), коэффициенты занятости и простоя каналов обслуживания и др.

Введем в рассмотрение параметр . Заметим, что если , то очередь не может расти безгранично. Это условие имеет следующий смысл: — среднее число требований, поступающих за единицу време­ни; — среднее время обслуживания одним каналом одного требова­ния, тогда — среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие требо­вания. Поэтому условие означает, что число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требова­ния. Важнейшие характеристики работы систем массового обслужива­ния:

1. вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:

. (2.4)

2. вероятность того, что занято ровно обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов:

, при ; (2.5)

3. вероятность того, что в системе находится требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов:

, при ; (2.6)

4. вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:

, при ; (2.7)

5. среднее время ожидания требования в системе:

, при ; (2.8)

6. средняя длина очереди:

, при ; (2.9)

7. среднее число свободных от обслуживания каналов:

; (2.10)

8. коэффициент простоя каналов:

; (2.11)

9. среднее число занятых обслуживанием каналов:

; (2.12)

10. коэффициент загрузки каналов:

. (2.13)

При рассмотрении замкнутых систем массового обслуживания к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих тре­бований ограничен, т.е. в системе одновременно не может находиться больше m требований (m — число обслуживаемых объектов) [52].

Модели управления запасами используются для того, чтобы опреде­лить время размещения заказов на ресурсы и их количество, а также массу готовой продукции на складах. Любая организация должна под­держивать некоторый уровень запасов во избежание задержек на произ­водстве и в сбыте. Для больницы требуется поставка необходимого ко­личества лекарств, для производственной фирмы — сырья и деталей, а также определенный задел незавершенного производства и запас гото­вой продукции.

Цель данной модели — сведение к минимуму отрицательных последствий накопления запасов, которые выражаются в определенных издержках. Эти издержки бывают трех основных видов: на размещение заказов; на хранение; потери, связанные с недостаточным уровнем запасов. Последние имеют место при исчерпании запасов. В этом случае про­дажа готовой продукции или предоставление обслуживания невозмож­но, кроме того, возникают потери от простоя производственных ли­ний, в частности в связи с необходимостью оплаты труда работников, хотя они не работают в данный момент.

Поддержание высокого уровня запасов избавляет от потерь. Закупка в больших количествах материалов, необходимых для создания запа­сов, во многих случаях сводит к минимуму издержки на размещение заказов, поскольку фирма может получить соответствующие скидки и снизить объем «бумажной работы». Однако эти потенциальные выгоды перекрываются дополнительными издержками — расходами на хране­ние, перегрузку, выплату процентов, затратами на страхование, потеря­ми от порчи, воровства и дополнительными налогами.

Кроме того, руководство должно учитывать возможность связыва­ния оборотных средств избыточными запасами, что препятствует вло­жению капитала в приносящие прибыль акции, облигации или банков­ские депозиты. Разработано несколько специфических моделей, помогающих руководству установить, когда и сколько материалов зака­зывать в запас, какой уровень незавершенного производства и запаса готовой продукции поддерживать [32].

В практической деятельности организации часто используются следующие системы регулирования товарных запасов [52].

Система с фиксированным размером заказа — наиболее распространенная система, в которой размер заказа на пополнение запасов — постоянная величина, а поставка очередной партии товара осуществляет­ся при уменьшении наличных запасов до определенного критического уровня, называемого точкой заказа. Регулирующие параметры системы с фиксированным размером заказа — это:

• точка заказа, т.е. фиксированный уровень запаса, при снижении до которого организуется заготовка очередной партии товара;

• размер заказа, т.е. величина партии поставки.

Данную систему часто называют «двухбункерной», так как запас хранится как бы в двух бункерах: в первом — для удовлетворения спроса в течение периода между фактическим пополнением запаса и датой сле­дующего ближайшего заказа, а во втором — для удовлетворения спроса в течение периода от момента подачи заказа до поступления очередной партии товара, т.е. во втором бункере хранится запас на уровне точки заказа.

Система с фиксированной периодичностью заказа — заказы на очередную поставку товарного запаса повторяются через равные проме­жутки времени. В конце каждого периода проверяется уровень запасов и определяется размер заказываемой партии. При этом запас пополня­ется каждый раз до определенного уровня, не превышающего макси­мальный запас. Таким образом, регулирующие параметры этой систе­мы — это:

• максимальный уровень запасов, до которого осуществляется их пополнение;

• продолжительность периода повторения заказов.

Система с фиксированной периодичностью заказа эффективна, когда имеется возможность пополнять запас в различных размерах, причем затраты на оформление заказа любого размера невелики. Одним из до­стоинств этой системы можно считать возможность периодической проверки остатков на складе и отсутствие необходимости вести систе­матический учет движения остатков. К недостаткам системы относится то, что она не исключает возможность нехватки товарных запасов.

Система с двумя фиксированными уровнями запасов и фиксированной периодичностью заказа — допустимый уровень запасов регламентирует­ся как сверху, так и снизу. Кроме максимального верхнего уровня запаса устанавливается нижний уровень (точка заказа).

Если размер запаса снижается до нижнего уровня раньше наступле­ния фиксированного времени пополнения запаса, то делается внеоче­редной заказ. В остальных случаях система функционирует как система с фиксированной периодичностью заказа. В данной системе имеется три регулирующих параметра:

• максимальный уровень запаса;

• нижний уровень запаса (точка заказа);

• длительность периода между заказами.

Первые два параметра постоянны, третий — частично переменный. Рассматриваемая система сложнее предыдущей, однако она позволяет исключить возможность нехватки товарного запаса. Недостаток систе­мы в том, что пополнение запасов до максимального уровня не может производиться независимо от фактического расходования запасов.

Система с двумя фиксированными уровнями запасов без постоянной пе­риодичности заказа, или (s,S)-стратегия управления запасами, — эту систему называют также (S-s)-стратегией, или системой «максимум-ми­нимум». Рассмотрим (s, S)-стратегию управления запасами более подробно. Это модификация предыдущей системы, но она устраняет недостаток предыдущей системы. В этой системе два регулирующих параметра:

• нижний (критический) уровень запасал;

• верхний уровень запаса S.

Если через обозначить величину запасов до принятия решения об их пополнении, через — величину пополнения, а через — величину запасов после пополнения, то (s,S)-стратегия управления за­пасами задается функцией

x при

, (2.14)

S при

т.е. пополнения не происходит, если имеющийся уровень запасов боль­ше критического уровня s; если имеющийся уровень меньше или равен s, то принимается решение о пополнении запаса обязательно до верх­него уровня S, так что величина пополнения равна p = S—x.

Саморегулирующиеся системы управления запасами. Рассмотренные выше системы регулирования запасов предполагают относительную неизменность условий их функционирования. На практике такое по­стоянство условий встречается редко, что вызвано изменениями по­требности в товарных запасах, условиями их поставки и т.д. В связи с этим возникает необходимость создания комбинированных систем с возможностью саморегулирования (адаптации к изменившимся усло­виям). Создаются системы с изменяющимися периодичностью и размером заказов, учитывающие стохастические (недетерминирован­ные) условия. В каждой такой системе в рамках соответствующей экономико-математической модели управления запасами устанавливается определенная целевая функция, служащая критерием оптимальности функционирования системы. В качестве целевой функции в моделях управления запасами чаще всего используется минимум затрат, свя­занных с заготовкой и хранением запасов, а также потери от дефицита. К элементам целевой функции при построении саморегулирующихся систем управления запасами относятся:

• затраты, связанные с организацией заказа и его реализацией, на­чиная с поиска поставщика и кончая оплатой всех услуг по дос­тавке товарных запасов на склад. Часть расходов, связанных с орга­низацией заказов, не зависит от размера заказа, но зависит от количества этих заказов в год. Расходы, связанные с реализацией заказа, зависят от размера заказанной партии, причем расходы в расчете на единицу товара уменьшаются при увеличении разме­ра партии;

• затраты, связанные с хранением запаса. Часть издержек хране­ния носит суточный характер (плата за аренду помещений, за отопление и др.), другая часть прямо зависит от уровня запасов (расходы на складскую переработку товарных запасов, потери от порчи, издержки учета и др.). При расчетах на основе экономи- ко-математических моделей управления запасами обычно пользу­ются удельной величиной издержек хранения, равной размеру издержек на единицу хранимого товара в единицу времени. При этом предполагают, что издержки хранения за календарный пе­риод прямо пропорциональны размеру запасов и длительности периода между заказами и обратно пропорциональны количе­ству заказов за этот период.

• потери из-за дефицита, когда снабженческо-сбытовая организа­ция несет материальную ответственность за неудовлетворение потреб­ности потребителей по причине отсутствия запасов [52]. Например, при неудовлетворенном спросе снабженческо-сбытовая организация может нести убытки в виде штрафа за срыв поставки. Вероятность де­фицита — это ожидаемая относительная частота случаев нехватки то­варной продукции в течение более или менее продолжительного ин­тервала времени. Иногда вероятность дефицита определяется как частное от деления числа дней, когда товар на складе отсутствует, на общее число рабочих дней, например, в году.

Имитационное моделирование. Все описанные выше модели подразумевают применение имитации в широком смысле, поскольку все они — заменители реальности. Тем не менее, как метод моделирования, имитация обозначает процесс создания модели и ее экспе­риментальное применение для определения изменений реальной си­туации. Аэродинамическая труба — пример физически осязаемой ими­тационной модели, используемой для проверки характеристик разрабатываемых самолетов и автомобилей. Специалисты по производ­ству и финансам могут разработать модели, позволяющие имитировать ожидаемый прирост производительности и прибылей в результате при­менения новой технологии или изменения состава рабочей силы. Спе­циалист по маркетингу может создать модели для имитации ожидаемо­го объема сбыта в связи с изменением цен или рекламы продукции.

Имитация используется в ситуациях, слишком сложных для математических методов типа линейного программирования. Это может быть связано с чрезмерно большим числом переменных, трудностью мате­матического анализа определенных зависимостей между переменными или высоким уровнем неопределенности.

Итак, имитация — это часто весьма практичный способ подстанов­ки модели на место реальной системы или натурного прототипа. Экспериментируя на модели системы, можно установить, как она будет реагировать на определенные изменения или события, в случае если отсутствует возможность наблюдать эту систему в реальности. Если ре­зультаты экспериментирования с использованием имитационной мо­дели свидетельствуют о том, что модификация ведет к улучшению, ру­ководитель может с большей уверенностью принимать решение об осуществлении изменений в реальной системе.

Экономический анализ. Почти все руководители воспринимают имитацию как метод моделирования. Однако многие из них никогда не думали, что экономический анализ — очевидно, наиболее распростра­ненный метод — это тоже одна из форм построения модели. Экономи­ческий анализ вбирает в себя почти все методы оценки издержек и эко­номических выгод, а также относительной рентабельности деятельности предприятия. Типичная экономическая модель основана на анализе безубыточности, методе принятия решений с определением точки, в которой общий доход уравнивается с суммарными издержками, т.е. точ­ки, в которой предприятие становится прибыльным.

Точка безубыточности (break-even point — ВЕР) — ситуация, при которой общий доход (total revenue — TR) становится равным суммарным издержкам (total costs — ТС). Для определения ВЕР необходимо учесть три основных фактора:

• продажную цену единицы продукции (unit prise — Р) — доход фирмы от продажи каждой единицы товаров или услуг. Изда­тельская компания, к примеру, получает 80 % от розничной це­ны книги. Таким образом, при продаже одной книги за 10 долл. Р составит 8 долл.;

• переменные издержки на единицу продукции (variable costs — VC) — фактические расходы, прямо относимые на изготовление каждой единицы продукции. Применительно к изготовлению книги это будут расходы на бумагу, обложку, услуги типографии, изготовление переплета и сбыт, а также выплата авторского гоно­рара. Естественно, совокупные переменные издержки растут с ростом объема производства;

• общие постоянные издержки на единицу продукции (total fixed cost — TFC) — те издержки, которые, по меньшей мере, в ближай­шей перспективе, остаются неизменными независимо от объема производства. Основные составляющие совокупных постоянных издержек издательской компании — расходы на редактирование, оформление и набор. Кроме того, часть управленческих расхо­дов, расходы на страхование и налоги, аренду помещения и амор­тизационные отчисления переводятся в постоянные издержки в соответствии с формулой, установленной руководством. В нашем примере предположим, что постоянные издержки, связанные с производством книги, равны 200 тыс. долл.

Продажная цена за вычетом переменных издержек обозначает вклад в прибыль на единицу проданной продукции. При продажной цене книги Юдолл. и переменных издержках 6 долл. вклад составит 4 долл. Этот расчет позволяет руководству установить, сколько книг нужно про­дать, чтобы покрыть постоянные издержки в сумме 200 тыс. долл. Раз­делив 200 тыс. на 4, мы получим 50 тыс., т.е. именно столько книг необ­ходимо продать, чтобы проект был рентабельным. В форме уравнения безубыточность выражается следующим образом:

TFC = ВЕР(Р- VC) (2.15)

или

ВЕР = TFC/(P— VC). (2.16)

Используя формулу, мы получим на базе тех же данных те же резуль­таты, как и при простом подсчете:

P = 10 долл.;

VС = 6 долл.;

TFC= 200 000 долл.;

ВЕР = ТFС/(Р- VC) = 200 000/4 = 50 000 книг.

Вычисление точки безубыточности, будучи сравнительно простой операцией, дает значительный объем полезной информации. Соотно­ся величину ВЕР и оценку объема продажи, получаемую методами ана­лиза рынка, руководитель в состоянии сразу увидеть, будет ли проект прибыльным, как запланировано, и каков примерный уровень риска. Если анализ издательского рынка показал, что потенциал сбыта состав­ляет 80 000 экземпляров, это значит, что издание будет прибыльным и сопряжено с относительно малым риском. Намерение продать всего, к примеру, 35 000 книг было бы весьма рискованным.

Легко можно также установить, как влияет на прибыль изменение одной или большего числа переменных. Например, издатель увели­чивает Р с 1 до 11 долл., ВЕР должна снизиться до 40 000 книг, что должно произойти и при соответствующем изменении величины VС. Таким образом, анализ безубыточности помогает выявить альтерна­тивные подходы, которые были бы более привлекательными для фир­мы. Например, рынок сбыта научных книг гораздо уже, чем, скажем, рынок учебников по вводным курсам, поэтому издатели вынуждены выплачивать менее высокие гонорары авторам научных книг и отказы­ваться от второго цвета при печати. Такой подход позволяет вдвое сни­зить общие издержки по сравнению с учебниками по вводным курсам. Отметим, однако, что в результате внешний вид книги ухудшается, а это может заставить потенциальных потребителей обратиться к продукции конкурента, в результате чего сбыт упадет ниже точки безубы­точности.

Получив результаты по сбыту и данные по фактическим издержкам, руководство может вернуться к модели безубыточности для контрольной оценки. Если фактические значения постоянных и переменных издер­жек превышают те, что использованы для расчета точки безубыточно­сти, это свидетельствует о необходимости корректирующих действий. Зачастую эти действия должны сводиться к новому анализу основы рас­чета. Как любые другие прогнозы и планы, те, что использованы в ана­лизе безубыточности, могут быть ошибочными, и зачастую по причи­нам, не находящимся под контролем руководителя. К примеру, в начале 1970-х гг. многие издатели столкнулись с уменьшением прибыли в силу внезапного скачка цен на бумагу, который невозможно было полностью переложить на потребителей.

Объем производства, обеспечивающий безубыточность, можно рассчитать почти по каждому виду продукции или услуге, если соответ­ствующие издержки удается определить.

Другие модели экономического анализа применяются для определе­ния прибыли относительно инвестированного капитала, определения величины чистой прибыли, которую имеет в данный период фирма, и дивидендов на одну акцию внутри фирмы. Эти модели рассматриваются в курсах по финансам и бухгалтерскому учету [32].

Оптимальное линейное программирование. Необходимое условие оптимального подхода к планированию и управлению (принципа оп­тимальности) — гибкость, альтернативность производственно-хозяй­ственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило, и составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, марш­рутизация, раскрой материалов, приготовление смесей и т.д.).

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое планово-управленческое решение , где —его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта.

Слова «наилучшим образом» здесь означают выбор некоторого критерия оптимальности, т.е. некоторого экономического показателя, позволяющего сравнивать эффективность тех или иных планово-управлен­ческих решений. Традиционные критерии оптимальности — «максимум прибыли», «минимум затрат», «максимум рентабельности» и др.

Слова «учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности» означают, что на выбор планово-управленческого решения (поведения) накладывается ряд условий, т.е. выбор осуществляется из некоторой области возможных (допусти­мых) решений D; эту область называют также областью определения задачи.

Таким образом, реализовать на практике принцип оптимальности — значит решить экстремальную задачу вида:

f , , (2.17)

где f — математическая запись критерия оптимальности —целе­вая функция. Задачу условной оптимизации обычно записывают таким образом:

Найти максимум или минимум функции где f = f при ограничениях:

,

,

…………………………………. (2.18)

,

,

Последнее условие необязательно, но его при необходимости всегда можно добиться. Обозначение {<,=,>} говорит о том, что в конкрет­ном ограничении возможен один из знаков: <,=,>. Используется бо­лее компактная запись:

f ,

(2.19)

Такова общая задача оптимального (математического) программирования, т.е. математическая модель задачи оптимального программи­рования, в основе построения (разработки) которой лежат принципы оптимальности и системности.

Вектор (набор управляющих переменных ) называет­ся допустимым решением, или планом задачи оптимального програм­мирования, если он удовлетворяет системе ограничений. А тот план (допустимое решение), который составляет максимум или минимум целевой функции

f называется оптимальным планом (оп­тимальным поведением, или просто решением) задачи оптимального программирования [52].

Таким образом, выбор оптимального управленческого поведения в конкретной производственной ситуации связан с проведением с пози­ций системности и оптимальности экономико-математического моде­лирования и решением задачи оптимального программирования.

IDEF-технологии моделирования. Своим появлением семейство стан­дартов IDEF (Integrated Defenition — интегрированное определение) во многом обязано появившейся в 1980-х гг. технологии автоматизации разработки информационных систем CASE (Computer Aided Software Engineering). До настоящего времени эта технология с успехом приме­няется при разработке разнообразного программного обеспечения. Однако в последнее время CASE-технологии приобретают все большее распространение для моделирования и анализа деятельности предпри­ятий, предоставляя богатый набор возможностей для оптимизации, или, в терминах CASE, реинжиниринга, технологических процедур, выполняемых этими предприятиями, — бизнес-процессов.

IDEF0, ранее известный как технология структурированного анали­за и разработки SADT (Structured Analysis and Design Technique — техно­логия структурного анализа и моделирования), был разработан компа­нией «SofTech, Inc.» в конце 1960-х гг. и представлял собой набор рекомендаций по построению сложных систем, которые предполагали взаимодействие механизмов и обслуживающего персонала. Подход SADT относится к классу формальных методов, используемых при ана­лизе и разработке систем [49].

В настоящее время используются методики функционального, информационного и поведенческого моделирования и проектирования, в которые входят IDEF-модели, приведенные в табл. 2.2.

Удобные средства визуального представления информации, описан­ные в стандартах семейства IDEF, могут применяться какдля описания деятельности произвольной компании, так и для принятия обоснован­ных решений в сфере реинжиниринга бизнес-процессов — оптимиза­ции функционирования компании на рынке.

В заключение отметим, что методы ситуационного анализа и мето­ды моделирования представляют широкий спектр эффективных инст рументов повышения качества и обоснованности управленческих ре­шений. Они используются на этапах диагностики проблемы, а также для формулирования критериев и ограничений. Именно на этих подготовительных этапах происходит анализ ситуации и постановка задачи, правильность которой в значительной степени предопределяет эффективность выполнения последующих этапов разработки и принятия управленческих решений.

Таблица 2.2 Перечень моделей, использующих IDEF-модели

Название модели	Назначение
IDEF0	Функциональное моделирование (Function Modeling Method)
IDEF1 и IDEF1X	Информационное моделирование (Information and Data Modelling Method)
IDEF2	Поведенческое моделирование (Simulation Modeling Method)
IDEF3	Моделирование деятельности (Process Flow and Object Stale Description Capture Method)
IDEF4	Объектно-ориентированное проектирование (Object-oriented Design Method)
IDEF5	Систематизация объектов приложения (Ontology Description Capture Method)
IDEF6	Использование рационального опыта проектирования (Design Rational Capture Method)
IDEF8	Взаимодействие человека и системы (Human-System Interaction Design)
IDEF9	Учет условий и ограничений (Business Constraint Discovery)
IDEF14	Моделирование вычислительных сетей (Network Design)