9. Системный подход и правило «трёх стандартов».

Вновь обращаясь к табл. 1, выясним, есть ли резко выпадающие значения для системного «входа» X. С этой целью воспользуемся правилом «трёх стандартов» [2]. В нашем случае стандарт s_х = 2,74. При этом 3s_х = 8,22; + 3s_х = 15,06; - 3s_х < 0.

Вывод 9. С точки зрения правила «трёх стандартов», в табл. 1 нет резко выделяющихся в ту или иную сторону значений системного «входа» X.

Обратим внимание, что в США в настоящее время для контроля качества продукции обычно используют правило не трёх, а «шести стандартов». Согласно этому правилу, например, из 1 млрд. деталей, изготавливаемых станком-автоматом, лишь одна деталь будет бракованной. В случае же правила «трёх стандартов» число бракованных деталей окажется уже равным 2,7 млн.

10. Системный подход и выборочный метод.

Рассмотрим элементы выборочного метода. В нашем случае n = 25 – объём рассматриваемой системы как выборки, а N = 100 – объём так называемой генеральной совокупности [2] (в нашем случае – общее количество малых предприятий сферы обслуживания в городе Севастополе). С помощью теорем П.Л. Чебышева и А.М. Ляпунова [2] полученный нами результат для выборочной средней можно распространить на случай генеральной средней :

(6)

Очевидно, исследуемая выборка (см. табл. 1) является бесповторной. Коэффициент t обычно называют «доверительным числом», учитывающим «меру риска». Так как распределение системного «входа» X является нормальным, то при α =5% доверительное число t = 1,96; при α = 0,27% t = 3; при α = 31,7% t = 1 и т. д.

Обратим также внимание на то, что случай t = 3 отвечает уже упоминавшемуся выше правилу «трёх стандартов».

Заметим также, что в нашем случае рассматриваемая выборка является малой (п < 30). Соответствующую теорию малых выборок разработал английский ученый Госсет, который взял себе псевдоним Student. Следуя таблицам Стьюдента, находим при α = 5%, что t = t_α = 2,06 [2]. Подставляя в формулу (6) числовые значения, получаем: .

Вывод 10: на уровне доверия 95% можно утверждать, что среднее значение стоимости основных производственных фондов (X, тыс. грн.) 100 малых предприятий сферы обслуживания Севастополя изменяется в пределах (6,09…7,59) тыс. грн.

11. Системный подход и регрессионный анализ.

Для изучения тесноты связи между стоимостью основных производственных фондов (X,тысяч грн.) и дневной выручкой (Y, тыс. грн.) в приложении к 25 малым предприятиям (МП) сферы обслуживания Севастополя необходимо рассчитать:

• уравнение линейной регрессии: у^* = а₀ + а₁х;

• парный коэффициент корреляции;

• коэффициент детерминации;

• коэффициент эластичности.

Уравнение простой парной регрессии (у на х) имеет вид: у^* = а₀ + а₁х.

Здесь у^* - теоретическое значение «выхода» Y; а₀ и а₁ – параметры регрессии, определяемые с помощью метода наименьших квадратов (МНК), разработанного Лежандром и Гауссом около 200 лет назад.

Итоговые формулы МНК таковы [2]:

а₁ = s_ху / s²_х; (7)

Здесь s_ху – ковариация «входа» и «выхода»; s²_х – дисперсия «входа» Х как случайной величины. Обратим внимание, что в этом пункте «выход» Y измеряется, как и «вход» Х, в тыс. грн.

Кроме, того, добавим, что за переход от громоздкого исходного ряда к компактному интервальному (см. табл. 2) нужно платить потерей точности при осуществлении корреляционного анализа. Проиллюстрируем сказанное, вычисляя параметр а₁ – угловой коэффициент прямой.

Исходный корреляционный ряд.

Из предыдущих вычислений известна дисперсия «входа» Х как случайной величины: s²_х = Д_х = 2,74.

Вычислим ковариацию [2]:

(8)

Таблица 3

Вычисление ковариации «входа» и «выхода»

для исходного вариационного ряда (см. табл. 1)

№	хiуi	№	хiуi
1	1,20	14	8,20
2	1,84	15	7,29
3	2,53	16	3,93
4	2,06	17	2,25
5	1,14	18	9,46
6	0,34	19	5,35
7	4,65	20	4,99
8	3,40	21	1,68
9	1,52	22	3,28
10	2,06	23	11,13
11	4,94	24	7,80
12	3,90	25	5,95
13	10,41		∑ = 110

Из маргинальной суммы табл. 3 находим .

Зная и , получаем из формулы (7) а₁ = 0,066. Тогда

Таким образом, уравнение простой парной регрессии имеет вид

у^* = 0,12 + 0,066х.

Здесь «вход» и выход измеряются в тыс. грн.