Вторая теорема разложения

Для того чтобы найти оригинал функции , изображение которой заданно дробно-рациональной функцией

,

(степень числителя меньше степени знаменателя), разлагаем изображение на элементарные дроби, после чего находим оригинал каждой дроби.

Пример 2.

,

.

Получим:

.

Запишем оригинал:

.

Третья теорема разложения

Если изображением искомой функции служит функция комплексного аргумента, регулярная справа от прямой , а на этой прямой и слева от нее не имеющая других особенностей, кроме конечного множества полюсов и существенно особых точек, то оригиналом для этой функции случит функция , определяемая по формуле:

.

Пример 3.

Найти оригинал для

,

Решение:

, , , - полюсы I порядка.

В спомним формулы для вычисления вычета функции в ее особых точках. Если точка является простым плюсом (полюсом первого порядка), то для вычисления вычета имеет место формула:

Если точка является полюсом -го порядка функции , то

≓

(результаты совпадают с предыдущими)

Пример 4.

Найти оригинал для:

Решение:

- полюс I порядка

- полюс II порядка

≓

Пример 5.

Решить уравнение:

, ,

Решение:

≒

≒

≒ ≒

, , - простые полюсы.

≓ - частное решение диф. уравнения

Пример 6.

_{Решить уравнение:}

, , ,

_{Решение:}

≒

≒

≒

≒ , ≒

Пусть студенты выберут сами способ отыскания оригинала.

Применим теорему об интегрировании оригинала.

Так как ≒ ,

≒

≒

≒

≒

На дом:

Решить уравнения:

1. ,

Ответ:

2. ,

Ответ:

Найти оригиналы при помощи третьей теоремы разложения

1. 

Ответ:

2. 

Ответ:

Проверить результат при помощи теоремы интегрирования оригинала.

Занятие 4. Запаздывающие функции. Теорема запаздывания.

Единичная функция, которую обозначим , называется функцией Хевисайда.

Ф ункция _,

где , называется единичной функцией запаздывающего аргумента.

Для любого оригинала можно построить соответствующую функцию запаздывающего

аргумента .

Функция, определяемая равенством _, равна 0 при и принимает те же значения что и на единиц позднее; ее график получается из графика сдвигом вдоль оси на вправо.

Если ≒ ,

то ≒ ,

≒

Например:

1. ≒ ;

2. ≒ ;

3. 

≒

Найти изображение функций, заданных графически:

1. 

≒

2. 

≒

_3.

≒ =

(Периодическая)

геометрическая прогрессия

4. ≒

5. ≒

^{6. ≒}

7.

≒

8. ≒

9. ≒

Найти изображение функций, заданных графически.

1. Чтобы написать уравнение отрезка, функцию следует умножить на функцию, равную 1 на (1,3) и равную 0 вне этого промежутка, то есть

≒

≒

≒

3. 

≓

Найти оригиналы по заданным изображениям:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

_{Ответы:}

1. 

2. 

3. 

4. 

5. ,

^≓

≓

(сначала ищем оригинал, отбрасывая множитель , затем у найденного оригинала заменяем на и умножаем его на