3. Теорема смещения

Если функция является оригиналом, то при любом вещественном или комплексном оригиналом будет являться и функция , так как из оценки

вытекает

при .

Найдем изображение этой функции

.

Интеграл в правой части последнего равенства отличается от интеграла Лапласа, определяющего изображения лишь тем, что в последнем аргумент изображения заменен на .

Таким образом, если

, то

.

3. Изображения основных элементарных функций

Зная изображение единичной функции или 1 , получим (опуская множитель )

. (4.1)

По формуле, выражающей теорему о дифференцировании изображения,

,

откуда

или , , и т.д.

Применяя теорему смещения к функции , получим

. (4.2)

Например,

.

Формула (4.1) позволяет найти изображение функций , если эти функции преобразовать при помощи формул Эйлера:

,

откуда

(4.3)

и, в частности, при .

Аналогично,

, (4.4)

при .

,

откуда

, (4.5)

при ,

, (4.6)

при .

При помощи теоремы смещения получается следующая группа формул:

, (4.3)

, (4.4)

, (4.5)

(4.6)

и т.д.

Теорема 4. Теорема свертывания. Сверткой двух функций и называется функция , определяемая формулой

.

(Операция получения свертки, называется свертыванием двух функций).

Если в интеграле заменить , причем, если , то , если , то , тогда формула примет вид:

или

,

т.е. функции и , входящие в свертку, равноправны.

Поставим теперь задачу выразить изображение свертки через изображения и свертываемых функций и .

Докажем теорему:

если , а , то , или .

Доказательство.

Применим к функции основную формулу для нахождения изображения:

,

Причем областью интегрирования является часть первого координатного угла, ограниченная прямыми и (рис. 4.1).

Рис. 4.1.

Изменим порядок интегрирования

т.к.

,

.

Таким образом

или

.

Доказали, что изображение свертки двух функций равно произведению их изображений.

Пример. Найти оригинал , зная его изображение: .

Обозначим:

и

,

По теореме умножения функций

.

Итак:

,

т.е.

.

Проверим:

, что и требовалось доказать.

3. Теоремы разложения

Теоремы разложения применяются для нахождения оригинала , когда известно изображение . Каждая из этих теорем справедлива лишь при определенных частных условиях, накладываемых на изображение . Однако классы функций, удовлетворяющих этим условиям, являются весьма широкими; вычисления же, связанные с применением теорем разложения, настолько просты, что использование этих теорем при решении многих конкретных задач оказывается весьма эффективным.

1. Первая теорема разложения

Предположим, что данное изображение может быть разложено в ряд по степеням :

, (5.1)

сходящийся при .

Если к каждому отдельному члену этого ряда применить операционное соотношение:

,

то оригинал определяется формулой:

. (5.2)

Пример 1. разлагается в ряд:

По первой теореме разложения

.