2. Основные теоремы и формулы операционного исчисления

2.1. Оригинал и изображение

В качестве исходной формулы для дальнейших выводов возьмем формулу

, (2.1)

определяющую преобразование Лапласа.

Функция вещественного независимого переменного , стоящая в формуле (2.1) под знаком интеграла Лапласа, называется начальной функцией или оригиналом ; функция комплексного независимого переменного называется изображением функции .

Формула (2.1), связывающая изображение с оригиналом, часто заменяется символической формулой:

, ,

п онимаемой в том смысле, что функция является оригиналом для функции , или формулой

, ( ,

показывающей, что функция является изображением.

Стрелка в этих символических формулах своим острием всегда должна быть направлена к оригиналу.

Иногда для изображения связи между оригиналом и изображением пользуются символическими формулами

и

.

Изображения имеют только те функции, для которых имеет смысл интеграл Лапласа (2.1).

Примером функции, не имеющей изображения, может служить функция . Точно так же не всякая функция комплексного переменного может рассматриваться как изображение некоторой функции вещественного переменного. Например, не имеет оригинала функция , так как полюсы этой функции распределяются по всей вещественной оси. То есть на плоскости нет ни одной прямой, параллельной мнимой оси, справа от которой эта функция была бы регулярной.

Мы будем рассматривать только такие начальные функции , которые удовлетворяют трем условиям:

1) при ,

2) при ,

где и - некоторые положительные постоянные числа,

3. на любом конечном отрезке для функции выполняются условия Дирихле.

Кроме того, всегда будем считать, что в формуле (1)

;

при этих условиях интеграл Лапласа, определяющий функцию , будет сходиться (и притом равномерно), во всей полуплоскости, ограниченной прямой . Функции, удовлетворяющие всем этим условиям, называются «изображенными по Лапласу».

Единичная функция

Важную роль в операционном исчислении играет функция, равная нулю при и равная единице при ; эта функция называется единичной функцией и обозначается :

.

Изображение единичной функции легко определяется по формуле (2.1):

,

Следовательно, при , то есть

.

Основные свойства изображений

Отметим простейшие свойства изображений.

1. Умножение начальной функции (оригинала) на постоянную величину влечет за собой умножение на ту же постоянную изображения:

, если и

, т.к. , ; .

2. Изображение алгебраической суммы конечного числа начальных функций равно алгебраической сумме изображений этих функций:

, где

.

3. Изображение любой линейной комбинации начальных функций равно той же линейной комбинации изображений этих функций:

, где

.

Доказательство этих свойств основано на применении простейших теорем об определенном интеграле.

Отметим, что при использовании операционного исчисления в практических целях обычно обращаются к так называемым каталогам, содержащим некоторое число начальных функций и их изображений, определенных заранее путем непосредственного вычисления интеграла Лапласа или при помощи соответствующих теорем и формул (вывод некоторых из них будет дан ниже). Ясно, что такие каталоги могут быть использованы и для практического решения обратной задачи, состоящей в определении начальной функции по данному изображению этой функции.