2.2. Характеристики передаточных функций су

Любую дробно-рациональную передаточную функцию вида (4) можно представить в виде элементарных сомножителей:

, , (7)

Элементарные множители можно преобразовать к принятому в теории автоматического управления стандартному виду:

, , (8)

где k - коэффициент передачи ( k > 0 ); T - постоянная времени ( T > 0 ); ξ - коэффициент демпфирования.

Для построения модели СУ с обратной связью необходимо использовать следующие типовые звенья. Они имеют следующие основные характеристики:

1. Пропорциональное звено имеет передаточную и временные функции вида:

; ; ; (9)

;

2. Идеально интегрирующее звено имеет передаточную частотную и временные функции вида:

; ; ;

; ; ; (10)

3. Апериодическое (инерционное) звено первого порядка:

; ; ; ; ; ; (11)

; .

4. Интегрирующее звено с запаздыванием получается путем последовательного включения идеально и реально интегрирующего звеньев:

; ;

; . (12)

5. Апериодическое звено второго порядка:

,

где ; , (13)

где - собственная частота; - коэффициент демпфирования.

; .

6. При выполнении условия < 1 апериодическое звено второго порядка вырождается в колебательное звено с аналогичной передаточной функцией (см.5). Временные функции колебательного звена имеют вид:

,

где ; ; (14)

, где .

При условии < 1 формулы для h(t) и H(t) упрощаются т.к. ; ; соответственно

; . (15)

2.3. Точность моделирования звеньев, построенных на основе операционных усилителей.

Изучение свойств систем управления с обратной свзью наиболее просто можно осуществить с помощью соответствующих электронных моделей, выполненных на операционных усилителях (ОУ). Применение ОУ с большим коэффициентом усиления k >>1 позволяет создавать суммирующие, масштабные, инвертирующие, дифференцирующие и интегрирующие узлы, отличающиеся высокой точностью выполнения операции.

Влияние коэффициента усиления k операционного усилителя на точность выполнения операции можно проанализировать на примере интегрирующего ОУ.

Принципиально операцию интегрирования можно осуществить с помощью пассивной интегрирующей цепи, показанной на рис.3. Выходное напряжение Uвых связано с входным Uвх уравнением с постоянными коэффициентами:

, (16)

где T = RC – постоянная интегрирования. Это уравнение можно записать в виде:

.

Первый интеграл правой части описывает процесс идеального интегрирования входного сигнала, а второй – принципиальную ошибку интегрирования.

Если в момент t = 0 подать на вход цепи единичный скачок Uвх = 1(t), то выходное напряжение будет изменяться по закону:

(17)

П ервый член размножения правой части в ряд равен точному значению интеграла от ступенчатой функции (прямая 1 на рис. 4), а величина соответствует ошибке интегрирования.

(18)

Данное выражение показывает, что интегрирование будет тем точнее, чем больше T, но величина выходного напряжения при этом будет существенно уменьшаться.

Ошибку интегрирования, возникающую в интегрирующем ОУ, можно оценить на примере схемы, приведенной на рис. 5. ОУ имеет высокое входное сопротивление и низкое выходное. Поэтому

,

где - входной ток;

- ток через сопротивление R;

- ток через емкость С.

Справедливы следующие равенства:

; ;

; , (19)

где - падение напряжения на сопротивлении R;

U_c - падение напряжения на емкости С;

- напряжение на входе ОУ.

Можно показать, что

;

Поскольку , то можно записать:

;

Поскольку , то окончательно получим уравнение, связывающее Uвых с Uвх в виде:

(20)

Уравнения (16) и (20) полностью совпадают с той лишь разницей, что по существу T в схеме интегрирующего ОУ в (1+k) раз больше, чем T в схеме пассивной интегрирующей цепи.

Учитывая, что , вторым членом уравнения (25) можно пренебречь. Кроме того, с высокой точностью , поэтому окончательно имеем:

,

или

Таким образом, чем больше в ОУ величина k, тем точнее выполняется процедура интегрирования. Причем амплитуда выходного сигнала не зависит от T и величины k. Можно показать, что для других типов ОУ точность выполнения операции определяется также величиной коэффициента усиления k.