Тернарные функции
Среди логических функций трёх аргументов (X,Y,Z) широко известной является мажоритарная функция, на основе которой в своё время строились комбинационные схемы элементов вычислительной техники. Мажоритарная функция Fm принимает значение «истина», в тех случаях, когда два или три её аргумента истинны. Иными словами, таблица истинности функции отражает торжество большинства единиц. Отсюда и название – мажоритарная, т.е. отображающая большинство.
X |
Y |
Z |
Fm |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Некоторые свойства логических операций
свойство |
для логических операций |
аналогия для операций с числами |
коммутативность (переместительный закон) |
X Y = Y X X Y = Y X |
a + b = b + a ab = ba |
ассоциативность (сочетательный закон) |
(X Y) Z= X (Y Z) (X Y) Z= X (Y Z) |
(a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) |
дистрибутивность (распределительный закон) |
X (Y Z) =(XY) (XZ) |
a(b + c) = ab + ac |
закон двойного отрицания3 |
Х=Х |
-(-a) = a |
закон исключения третьего4 |
Х Х = 1 |
|
законы де Моргана (общая инверсия ) |
(X Y) = Х Y (X Y) = Х Y |
|
Закон непротиворечия5 |
Х Х = 0 |
|
Правила исключения констант:
|
Х 1 = 1, Х 0 = X
Х 1 = Х, Х 0 = 0 |
|
Раскрытие импликации |
X→Y=XY |
|
Раскрытие эквивалентности |
X↔Y=(XY)(XY) |
|
Законы легко проверяются с помощью таблиц истинности для обеих частей равенств на всех наборах переменных.
Пример:
законы де Моргана можно проверить, построив таблицу значений для:
(X Y), Х Y, (X Y), Х Y
X |
Y |
(XY)=X↓Y |
X |
Y |
Х Y |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
X |
Y |
(XY)=X|Y |
X |
Y |
Х Y |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Огастес де Морган (1806-1871), шотландский математик и логик.
