Дифференциал функции n переменных.
Дифференциалом du дифференцируемой в точке М(х1,х2,…,хn) функции u=f(x1,x2,…,xn) называется главное линейное относительно приращения аргумента часть приращения этой функции в точке М.
Если все коэффициенты Ai=0, то дифференциал функции в точке М считается равным 0.
Как
и в случае 1 перем-ой будем считать,что
дифференциал от независимой переменной
совпадает с ее приращением,т.е. d'xi=
i=
.
du=
(*)
Замечание1. Ф-ла (*) выписана для случая,когда пргументы хi явл независ переменными.Далее будет доказано,что ф-ла справедлива и в случае,когда хi-зависимые переменные (это св-во назыв инвариантность формы первого диффер-ла).
Замечание2. Геометр смысл диф-ла 2х переменных. (рис.)
Дифференцирование сложной функции.
Рассмотрим вопрос о дифференцировании сложной функции нескольких переменных вида:
U=f(M)=f(X1,x2,…xn) (1)
Xi=i(t1,t2,…,tk), I=1,2,…m (2)
[T]
Пусть функция (2) дифференцируема в
некоторой точке Nо
(
,
а функция (1) дифференцируема в точке
Мо(
,
причем
Тогда сложная функция u=f(x1,x2,…,xn),
где Х1,Х2,…,Хn
определяется по формулам (2) дифференцируема
в точке Мо, при этом частные производные
этой сложной функции вычисляются по
формулам:
….
в
которых
берутся в точке Mо,
а частные производные
берутся
в точке Nо.
Следствие:
Случай,когда ф-ла (2) зависит только от
t1
хi=φi(t),поэтому
ф-ла примет вид
Неявные функции.
D'ef Если переменная u, являющаяся по смыслу функцией переменных х1,х2,…,хn задается посредством функций уравнений F(U,X1,x2,…,xn)=0, то говорят, что функция задана неявно.
Частные производные неявно заданной функции вычисляются по формулам:
d'u/d'xi=-(d'F/d'xi)/(d'F/d'u), i=1,...,n
Рассмотрим совокупность М неявных функций, которые задаются посредством системы М функциональных уравнений:
/u1=ф1(х1,х2,...,хn)
/u2=ф2(х1,х2,...,хn) (1)
\...
\um=фm(х1,х2,...,хn)
Пусть функции определены, как решение М функциональных уравнений (2)
(2)
/F1(u1,...,um,x1,...xn)=0
/F1(u1,...,um,x1,...xn)=0 (2)
\...
\F1(u1,...,um,x1,...xn)=0
Решением системы (2) будет называться совокупность функций, таких что при их подстановки в систему все уравнения этой системы образуются в тождества.
D'ef Это решение будем называть непрерывным и дифференцируемом в некоторой области D' изменения переменных Х1,Х2,…Хn Если каждая из функций U1,U2,…Um непрерывна и дифференцируема в этой области.
ld'F1/d'u1, d'F1/d'u2,..., d'F1/d'un l
ld'F2/d'u1, d'F2/d'u2,..., d'F2/d'un l = D'(F1,F2,...,Fn)\D'(u1,u2,...,un)
l... l
ld'Fm/d'u1, d'Fm/d'u2,..., d'Fm/d'unl
Такой определитель называют определителем Якоби или Якобианом.
[T] Система (2) будет разрешима, а решение непрерывно и дифференцируемо, если функция f1,f2,…,fn дифференцируема в окрестности точки Мо, d'Fi/d'ui непрерывна в точке Мо, D'(F1,F2,...,Fn)\D'(u1,u2,...,un)
Якобиан отличен от 0 и F1=F2=…=Fn в точке Мо
Производная по направлению. Градиент.
Рассмотрим
функцию трех переменных u=f(x,y,z).
Пусть она определена в некоторой
окрестности точки Мо(хо,yo,zo).
Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие
из точки Мо. Каждый такой луч заадется
единственным вектором (соs,
cos,cos).
Если l-
длина этого отрезка, то его координаты
(lcos,
lcos,
lcos)
C
другой стороны:
(x-xo,
y-yo,
z-zo)
Т.о. получили один и тот же отрезок:
Приравняем
u=f(Xo+lcos, Yo+lcos, Zo+lcos) (1)
Т.о. u- сложная функция.
Производную
указанной сложной функции по переменной
l,
взятую в точке l=0
нназывают производной функции u=f(x,y,z)
в точке Мо по направлению, оопределяемому
единичным вектором l.
Обозначение:
(2)
Градиентом
функции u=f(x,y,z)
в данной точке Мо(xo,yo,zo)
называется вектор, координаты которого
имеют вид gradu(Mo)=
Если: u=f(x1,x2,…,xn) Mo(
[Т] Вектор градиента функции y=f(x,y,z) в точке Мо характеризует направление и величину максимального роста функции в точке Мо,т.е. производные функции u=f(x,y,z) в точке Мо по направлению, определенному вектором градиента этой функции в точке Мо имеет максимальное значение по сравнению с производной по любому другому направлению и это значение равно длине вектора градиента.
Док-во: Из ф-л (1) и(2) →(gradu,e) =∂u/∂e
∂u/∂e=(gradu,e) = |gradu|*|e|*cosφ
Cosφ=1 φ=0
Max значение достигается ↔ вектор е и вектор grad направлены одинаково. Тогда |∂u/∂e=gradu|
Следствие. Вектор градиента не зависит от выбора координат.
Геометрический смысл градиента:
Линии уровня для функции двух переменных u=f(x,y) называется линия на которой функция сохраняет свое постоянное значение.
Если В каждой точке линии уровня M(xо,yо) построить касательную, то вектор-градиент в точке Мо будет перпендикулярен этой касательной.
Поверхность уровня- фунция u=f(x,y,z) в точке Мо (xo,yo,zo) называется поверхность на которой функция сохраняет свое постоянное значение.
Свойства: если в каждой точке Mo(xo,yo,zo) провести касательную поверхность, то вектор градиент будет ортогонален этой поверхности.