2. Зв’язок між однорiдним лiнiйним рiвнянням в частинних похiдних першого порядку і відповідною йому системою звичайних др в симетричній формі.

Означення1. Розв’язком рівняння

, (1)

називається функція , яка визначена і неперервна разом з частинними похідними в деякій області змінних ,.., і перетворює в цій області рівняння (1) в тотожність. При цьому ,.., і значення лежать в області визначення функції .

Багато фiзичних явищ описуються рiвняннями з частинними похiдними першого порядку. Наприклад, у газовiй динамiцi важливу роль вiдiграє рiвняння Хопфа , де u = u ( t , x ), а в оптицi вивчається рівняння

,

де u = u (x, y, z), яке описує поширення свiтлових променiв у неоднорiдному середовищi з показником заломлення .

Розв’язком рiвняння (1) називають неперервно диференцiйовну функцiю , яка перетворює рiвняння (1) у тотожнiсть для кожної точки .

Якщо – розв’язок рiвняння (1), то його графiк – поверхню у просторi (n+1)-ї

змiнної – називають iнтегральною поверхнею рiвняння (1).

Розглянемо декiлька простих прикладiв вiдшукання розв’язкiв рiвняння (1).

Приклад 1.

Вiдшукати функцiю z = z (x, y) – розв’язок рiвняння .

Розв’язання. Iнтегруючи обидвi частини за змiнною x, одержуємо

,

де – довiльна диференцiйовна функцiя змiнної y.

Приклад 2. Зiнтегрувати рівняння .

Розв’язання.

Iнтегруючи за змiнною x, маємо , де – довiльна диференцiйовна функція. Iнтегруючи тепер останню рiвнiсть за змiнною y, одержуємо, що ,

де , - довiльнi диференцiйовнi функцiї.

З наведених прикладiв випливає, що розв’язки диференцiального рiвняння з частинними похiдними першого порядку можуть залежати вiд однiєї довiльної функцiї, а розв’язки рiвняння другого порядку – вiд двох довiльних функцiй. Пiзнiше буде показано, що розв’язки рiвняння (1) можуть залежати вiд однiєї неперервно диференцiйовної функцiї, кiлькiсть аргументiв якої (n −1).

Якщо у рiвняннi (1) функцiя Φ залежить лiнiйно вiд частинних похiдних шуканої функцiї, то його називають лiнiйним. Лiнiйне рiвняння можна записати у виглядi

, (2)

Якщо права частина рiвняння (2) тотожно дорiвнює нулю, а коефiцiєнти не залежать вiд шуканої функцiї u, то маємо рівняння

, (3)

яке називають лiнiйним однорiдним рiвнянням з частинними похiдними першого порядку. Вважаємо, що коефіцієнти цього рiвняння визначенi та неперервнi разом з частинними похiдними за змiнними у деякому околi заданої точки i що у ц iй точцi вони одночасно не перетворюються у нуль, наприклад, . Очевидно, що рiвняння (3) має розв’язок u = c, де c – довiльна стала.

Одночасно з рiвнянням (3) розглядатимемо систему звичайних диференцiальних рiвнянь

= =…= . (4)

яка складається з (n −1)-го рiвняння. Систему (4) називають системою характеристик (характеристичною системою). Систему характеристик можна записати також у виглядi:

, , …, (5)

Доведемо двi теореми, якi встановлюють зв’язок мiж рiвнянням (3) i вiдповiдною системою характеристик (4).

Теорема1.Кожний iнтеграл системи = =…= .єрозв’язком

рiвняння .

Доведення.

Нехай – iнтеграл системи (4),

визначений у деякому околi точки . Тодi згiдно з означенням iнтеграла повний диференцiал функцiї внаслiдок системи (4) тотожно дорiвнює нулю, тобто

,

де диференцiали потрiбно замiнити виразами, якi випливають з (5):

..., .

Таким чином,

звiдки випливає, що функцiя u = є розв’язком рiвняння (3).

Теорема 2. Кожний розв’язок рiвняння (3) єiнтегралом системи (4).

Доведення.

Нехай –розв’язок рівняння (3). Причому

. Тоді

+ +...+ 0. (6)

Знайдемо диференцiал функцiї ψ внаслiдок системи(4):

= …+ ( + +...+ )

звiдки, враховуючи (6), маємо, що dψ ≡ 0, тобто ψ є iнтегралом системи (4).

Розглянемо, наприклад, рiвняння з частинними похiдними

.

Йому вiдповiдає система характеристик

,

яка має інтеграли . . Отже, функції , є розв’язками наведеного рiвняння з частинними похiдним