§ 6. Несобственные кратные интегралы

6.1. Возрастающая поледовательность множеств.

Пусть - некоторая бесконечная последовательность множеств в .

Определение. Последовательность множеств назовём возрастающей, если при всяком натуральном k выполняется условие .

Пусть - возрастающая последовательность множеств. Обозначим: . Множество Х будем называть пределом возрастающей последовательности и бу- дем записывать: . Заметим: для всякой точки х₀, принадлежащей Х, существует натуральное k₀ такое, что при всех k > k₀ выполняется х₀ .

Пример. Пусть при k = 1, 2, …

, . Последовательности и – возрастающие. Пределом последовательности открытых кругов является открытый единичный круг . Пределом последовательности открытых колец является множество - открытый единичный круг с удалённым центром.

Предел любой возрастающей последовательности измеримых множеств есть измеримое множество, причём ( см. п.п. 4,5 , § 1).

Лемма 1. Пусть - возрастающая последовательность измеримых множеств и пусть . Если Х ограничено, а функция f интегрируема на Х, то .

► При каждом натуральном , причём Ø; зна- чит, (Χ) = (Χ_k) + (Χ \ X_k) . В силу непрерывности меры снизу (Χ_k) (Χ); сле- довательно, (Χ \ X_k) 0. Имеем: . Отсюда:

μ(Χ \ X_k) 0, где М = . Значит, . ◄

6.2. Основные определения.

Пусть Х ,n≥2, – некоторое открытое множество, а f – функция, определен ная на множестве Х и интегрируемая на всяком его замкнутом ограниченном подмножестве ( этому условию удовлетворяет, например, функция, непрерывная на Х). Возможны сле- дующие случаи.

1. Х- ограниченное множество, а f интегрируема на нём;

2. Х- ограниченное множество, а f не интегрируема на нём ( например, f не ограничена на Х);

3. Х – неограниченное множество.

Пусть - возрастающая последовательность открытых подмножеств множе- ства Х, удовлетворяющая требованиям:

и ) . Рассмотрим числовую последовательность . В случае 1. эта последовательность сходится, а её предел есть (см. лемму 1) : В случаях 2. и 3. предел существует не всегда.

Пример . Пусть Х = , . Очевидно, . Пусть , . Имеем:

Для случаев 2) и3) сформулируем следующее определение.

Пусть Х –открытое множество, а f – функция, определенная на множестве Х и интегрируемая на всяком его замкнутом ограниченном подмножестве, причём имеет мес- то один из случаев 2) или 3).

Определение. Число А назовём несобственным интегралом от функции f по множе- ству Х , если для любой последовательности открытых подмножеств, удовлетворяющей условиям и ) числовая последовательность сходится, а её предел равен А

Обозначают несобственный интеграл от функции f по множеству Х теми же сим- волами, что и собственные интегралы : . и

Если число А удовлетворяющее сформулированному определению существует, бу- дем говорить, что несобственный интеграл сходится и равен А. В противном случае , т.е. если такого числа не существует, будем говорить, что несобственный интеграл расходится.

Приведем формулировки основных свойств сходящихся несобственных интегра- лов. В этих формулировках - открытое множество, функции f и g интегрируемы на любых его замкнутых ограниченных подмножествах. Мы будем говорить, что су- ществует, если он является либо собственным интегралом, либо сходящимся несобствен- ным интегралом.

1. Если существуют и , то существует и , причём

+ = .

2. Пусть - вещественное число; если существует , то существует и , причём = λ .

3. Пусть - непрерывно дифференцируемое и взаимно однозначное ото- бражение открытого множества на Х, якобиан которого не обращает- ся в нуль на . Если существует один из интегралов и , то существует и другой, причём = .

.Первые два утверждения легко получить непосредственно из определения несоб- ственного интеграла и соответствующих свойств собственных интегралов. Доказательство третьего утверждения имеется в [1].

6.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций.

Пусть - открытое множество, а f – функция, неотрицательная на нём и ин- тегрируемая на всяком замкнутом ограниченном подмножестве этого множества . Если - некоторая возрастающая последовательность открытых множеств, содержащих- ся в Х, то - неубывающая последовательность неотрицательных чисел. Заметим, что такая последовательность либо имеет конечный предел, либо стремится к +∞.

Лемма. Пусть Х –– открытое множество, а - последовательность отк- рытых подмножеств, удовлетворяющая условиям и ) . Тогда для всякого ограниченного замкнутого множества Е, принадлежащего Х, сущест- вует натуральное такое, что ( следовательно, при всяком ).

Доказательство этого утверждения имеется в [1].

Теорема . Пусть – открытое множество, функция f неотрицательна на Х и интегрируема на любом его замкнутом ограниченном подмножестве. Каковы бы ни были последовательности открытых подмножеств и , удовлетворяющие услови- ям и ), указанным в лемме, справедливо равенство .

► Пусть последовательности и удовлетворяют условиям и ), указанным в лемме . Обозначим: . Последовательности и { }- неубывающие числовые последовательности; поэтому каждая из них имеет пределом либо неотрицательное число, либо +∞. Обозначим: . Требуется доказать равенство .

Пусть k₀ – некоторое натуральное число. Так как - замкнутое множество, принадлежащее Х, то в силу леммы найдётся натуральное l₀ такое, что ; значит, . Последовательность возрастает, поэтому при всех натуральных l . Отсюда: . Здесь k₀ – произвольное натуральное число; следова- тельно, при всех натуральных k справедливо . По теореме о предельном переходе в неравенстве отсюда следует: . Поменяв ролями в изложенных выше рассуждениях последовательности и { }, получим противоположное неравенство . Следова- тельно, . ◄

Таким образом, в случае неотрицательной функции все числовые последователь- ности интегралов , построенные по всевозможным последовательностям подмно- жеств, удовлетворяющих требованиям: и ) , ведут себя cолидарно: либо все они схо- дятся к некоторому числу А≥ 0, либо все они стремятся к +∞. Сдедовательно, исследуя несобственный интеграл от неотрицательной функции ( сходится ли он, а если сходится, то чему равен) достаточно рассмотреть какую – либо одну конкретную последователь- ность подмножеств, удовлетворяющую требованиям ) и ), указанным в лемме .

Пример. Пусть Х = , . , . Для возрастающей последовательности открытых кругов имеем: , Так как f₁ и f₂ неотрицательны, этого достаточно для заключений : сходится и равен π; расходится.

Теорема (признак сравнения) Пусть - открытое множество, а f и g – функции, неотрицательные на нём и интегрируемые на всяком замкнутом ограниченном подмножестве этого множества, причём f(x) ≤ g(x) на множестве Х. Тогда:

1. 1) если сходится, то и сходится;

2) если расходится, то и расходится. Доказательство проводится по той же схеме, что и для несобственных определен- ных интегралов.

6.4 Несобственные интегралы от функций, меняющих знак

Пусть , n ≥ 2, - открытое множество, а f – функция, определённая на нём и интегрируемая на всяком замкнутом ограниченном подмножестве этого множества.

Теорема. Если сходится, то сходится и .

Доказательство такое же, как у аналогичной теоремы для несобственных опреде- лённых интегралов. Напомним, что для несобственных определенных интегралов утверж -дение, обратное этой теореме, места не имеет: из сходимости интеграла от функции f не следует сходимость интеграла от её модуля. Однако, для несобственных n –кратных ин- тегралов, введённых при n ≥ 2 описанным выше способом, обратное утверждение справед- ливо: если .сходится, то сходится и ; доказательство имеется в [1] .

Литература

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа , т. 2

2. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа/

3. Аксёнов А.П. Математический аналиэ, часть 2.

4. Рыжаков И.Ю. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

.

42