§ 2. Интегральные суммы. Интегрируемые фуекции

2.1. Точные грани ограниченной функции

Здесь мы рассматриваем функции n переменных; они определены на множествах, лежащих в пространстве . Функцию f называют ограниченной на множестве , если ограничено множество значений, принимаемых этой функцией на Х.

Пусть f – некоторая функция, ограниченная на множестве Х , . Введём обозначения точной нижней и точной верхней граней множества её значений:

. и называют соответственно точной нижней и точной верхней гранями функции f на множестве Х .

Лемма. Пусть функции f и g ограничены на множестве Х. Тогда:

а) если g = -f , то ;

б) число - есть точная верхняя грань множества значений модуля раз- ности , где и - любая пара точек, принадлежащих Х :

- = ;

в) пусть h = f + g; тогда ;

г) пусть h = f ∙ g, а С – число, удовлетворяющее условию: на множестве Х | | ≤ ≤C и | | ≤ C; тогда

.

► а). Докажем первое равенство. Для всякой точки х справедливо ≤ . Отсюда, т.к. f = - g , получим и ; следовательно, число является нижней гранью множества значений функции g. Точная нижняя грань множества есть наибольшая из его нижних граней; поэтому . С дру- гой стороны, для всякой точки х справедливо ; отсюда получим и . Следовательно, есть верхняя грань множества значений функции f , а есть наименьшая из его верхних граней; поэтому , т.е., . Таким образом, с одной стороны , а с другой ≤ ; значит, = . Доказательство равенства аналогично.

б) Обозначим через ℇ множество значений разности , где и - любая пара точек, принадлежащих Х. Обозначим : А = - . Требуется доказать: А= sup ℇ. Точная верхняя грань множества – это наименьшая из его верхних граней; по- этому равенство А = sup ℇ означает, во-первых, что А есть верхняя грань множества ℇ , т.е. ℇ и, во- вторых, что при любом ε > 0 число А - ε верхней гранью мно- жества ℇ не является, т.е. ℇ: . Убедимся, что число А = = - этими свойствами обладает.

1) При любых где и , принадлежащих Х, имеем: , ; отсюда: ≤ - = А, Значит, А есть верхняя грань множества ℇ.

2) Пусть задано ε > 0. Так как и - точные грани множества значений функции f , в Х существуют точки и такие, что справедливы неравенства f( ) > и f( ) . Обозначим: . Имеем:

= . Таким образом, при всяком ε > 0 число верхней гранью множества ℇ не является. Из 1) и 2) следует: А – наименьшая из верхних граней множества ℇ.

в) Докажем первое неравенство. Для всякой точки х , очевидно, справедливо . Значит, число является нижней гранью множества значений функции h; поэтому + . Доказательство вто- рого неравенства аналогично.

г) Функции f и g ограничены на множестве Х; значит, найдётся С > 0 такое, что для любой точки Пусть и - точки, принадлежащие Х. Легко убедиться в справедливости равенства:

. Значит, для любых и , принадлежащих Х справедливо неравенство

. Тогда подавно справедливо неравенство

( + ). В силу утверждения б) леммы это неравенство можно записать так:

Таким образом, число С есть верхняя грань множества значений ; поэтому

. В силу утверждения б) леммы левая часть этого неравенства равна . ◄

2.2. Положительная и отрицательная части функции

Пусть функция f определена на некотором множестве . Определим на этом множестве две функции и : для любой точки х, принадлежащей Х,

(1)

Эти же функции и можно задать также с помощью равенств

,

или равенств

,

Очевидно, и неотрицательны на Х. Из (2) легко следует, что на множестве Х справедливо равенство f(х) = (х) - (х) . Функции и будем называть по- ложительной и отрицательной частями или составляющими функции f соответственно. Отметим ряд свойств и .

1. |f(х)| = (х) + (х).

Это равенство вытекает непосредственно из определений (1).

2. Пусть g = - f ; тогда . ► Например:

max{ 0 , g(х)} = max{ 0 , -f(х)} ◄

3. Функция f ограничена на Х тогда и только тогда, когда на Х ограничены её сос- тавляющие и .

Справедливость этого утверждения очевидна ввиду свойства 1.

4. Пусть х₀ принадлежит Х и является предельной точкой этого множества. Что- бы функция f была непрерывной в точке х₀ по множеству Х, необходимо и достаточно, чтобы таким же свойством обладали составляющие и .

► Необходимость. Может представиться одна из следующих трёх возможно- стей: либо либо либо Рассмотрим первую возможность. Так как f непрерывна в точке х₀ по множеству Х , существует ε > 0 такое, что в любой точке х, принадлежащей пересечению множества Х с ε – окрестностью . В силу определений (1) на указанном пересечении совпадает с f, а тождественно равна нулю; значит, обе эти функции непрерывны в точке х₀ по множеству Х. В случае доказательство аналогично. Рассмотрим случай Имеем: Тогда и , т.е. . Так как и неот- рицательны, из последнего равенства следует: и Сле- довательно, и непрерывны в точке х₀, ибо (х₀) = ( х₀) = 0 (см. (1)).

Достаточность. Пусть и непрерывны в точке х₀ по множеству Х. Так как f(х) = (х) - (х), функция f непрерывна как разность непрерывных функций. ◄

5. Пусть f ограничена на множестве Х. Тогда

► Докажем первое равенство. Обозначим через Х совокупность тех точек мно- жества Х , в которых значения f неотрицательны . Возможны два случая: 1) Х - пустое множество и 2) Х не пусто.

В случае 1) на всем множестве Х имеем f(x) < 0 ; поэтому на Х составляющая тождественно равна нулю. а = - f. Отсюда: 0, , значит,

В случае 2) тождественно равна нулю на Х ; поэтому . На Х функ- ция совпадает с f, и ; значит, .

Докажем второе равенство. Положим g = - f. В силу доказанного выше имеем: . Из утверждения а) леммы и свойства 2 следует: . Отсюда: т.е.,

− . ◄

2.3. Интегральные суммы функции n переменных

Пусть Х - ограниченное измеримое множество, а τ = , где l натура- льное число, - некоторый набор его измеримых подмножеств .

Определение. Набор τ = назовём дроблением множества Х , если входящие в него подмножества попарно не пересекаются, а их обьединение совпадает с Х :

Ø при ,

Пусть функция f(x) определена на ограниченном измеримом множество Х , а τ = - дробление этого множества. В каждом из подмножеств выбе- рем по точке ξ_j и составим сумму произведений:

, где через обозначена мера множества : = . Эту сумму назовем интег- ральной суммой функции f по дроблению τ и обозначим сисмволом :

.

Пусть функция f ограничена на множестве Х. Введём обозначения:

Суммы и назовем нижней и верхней интегральными суммами функции f по дроблению τ соответственно.

Остановимся на геометрической интерпретации интегральных сумм неотрица- тельной функции.

Пусть f ограничена и неотрицательна на ограниченном измеримом множестве Х , а τ = есть дробление этого множества. Введем обозначения для цилиндрических множеств и обьединений этих множеств :

, (τ) В силу теоремы пункта 1.6 мера цилиндра равна m_j , где = . Так как множества X_j, j =1,2, … …,l попарно не пересекаются, то попарно не пересекаются и цилиндры , j =1,2, … ,l; поэтому мера их обьединения равна сумме мер обьединяемых цилиндров, т.е. . Значит, нижняя интегральная сумма = равна мере “ступенчатого” множества : ( ). Аналогично, верхняя интегральная сумма равна мере “ступенчатого” множества , составленного из цилиндров : = ). где .

_j представляет собой цилиндр, заключенный между верхним основанием цилиндра и верхним основанием цилиндра . Высота _j равна , поэтому ( _j) = = ( ) . Отсюда для обьединения этих цилиндров (τ) получим:

( (τ)) = (2)

Пусть функция f неотрицательна на множестве , а есть её график на этом множестве, т.е. .

Множество T_f,X ,

,

назовем подграфиком функции f на множестве Х . Заметим : график и подграфик T_f,X лежат в пространстве . На рис. 4 пространство представлено горизонтальной ко- ординатной плоскостью, множество Х - фигурой, лежащей в этой плоскости , а подграфик T_f,X – телом, опирающимся на эту фигуру и ограниченным сверху поверхностью - гра- фиком функции u = f(x).

Очевидно, каждый из цилинд- ров , j = 1,2,…,l , содержится в подграфике T_f,X.; поэтому и обьеди- нение этих цилиндров (τ) содержи- тся в T_f,X. Нетрудно также видеть, что подграфик T_f,X содержится в обьеди- нении цилиндров , j = 1,2, …,l . Таким образом,

(τ) T_f,X . (3)

Так как на множестве X_j выполняется , то график функции f на множестве X_j содержится в цилин- дре _j ; поэтому график функции f на всём множестве Х содержится в обьединении (τ) этих цилиндров: (τ).

2.4. Свойства интегральных сумм

В этом пункте Х – ограниченное измеримое множество, функция определена и ограничена на Х, и - её составляющие, а τ = - некоторое дробление мно- жества Х.

1. S(f,τ) .

►При любом выборе точки ξ_j в множестве Х_j справедливы неравенства Значит, при всех j = 1,2,…,l . Сложив почленно эти неравенства, получим неравенства для интегральных сумм. ◄

2. - ; - .

► Ниже пользуемся обозначениями для точных граней на подмножестве X_j состав- ляющих и :

В силу свойства 5 , п. 1.5, при каждом j = 1,2,…,l имеем: . Отсюда при всех j = 1,2,…,l . Сложив эти равенства почленно, получим первое из доказываемых равенств для интегральных сумм. Доказательство второго равенства аналогично.

3. Всякая нижняя интегральная сумма функции f не превышает любой из верхних интегральных сумм этой функции; т.е. для любых двух дроблений и множества Х справедливо неравенство . .

► Пусть сначала f неотрицательна на множестве Х. Для любого дробления име- ем (см.(2)): (τ) T_f,X .

Пусть и - два дробления множества Х . Тогда , с одной стороны, (τ) T_f,X , а с другой T_f,X . Следовательно, для любых двух дроблений и справедли- во (τ) . Множества (τ) и измеримы, так как являются обьединениями цилиндров, и в силу монотонности меры ( (τ)) ( ) . Это и есть доказы- ваемое неравенство .

Пусть теперь f -любая ограниченная на Х функция, а и - её составляющие. По доказанному выше , . Отсюда и из равенств свойства 2. получим:

- - = . ◄

2,5. Интегрируемые функции

Пусть Х – ограниченное измеримое множество множество, а τ = - дро- бление этого множества. Обозначим: d_j = , т.е. d_j есть точная верхняя грань расстояния между любыми двумя принадлежащими Х_j точками. Число d_j назовём диаметром множества Х_j . Наибольший из диаметров d_j , j = 1,2,…,l обозначим через λ и назовем рангом дробления τ = .

Пусть есть некоторая последовательность дроблений множества Х. Обозначим через λ_k ранг дробления τ_k . Последовательность дроблений назовем нормальной, если

Пусть f ограничена на Х , а есть некоторая последовательность дроблений этого множества. Для каждого натурального k запишем интегральные суммы и . Тем самым по последовательности дроблений будут построены две чис-ловые последовательности - последовательности интегральных сумм и .

Пусть функция f ограничена на ограниченном измеримом множестве Х

Определение . Функцию f назовём интегрируемой на множестве Х, если для любой нормальной последовательности дроблений множества Х разность между верхней и нижней интегральными суммами функции f по дроблению стремится к нулю:

- → 0

Приведём пример интегрируемой функции.

Теорема 1. Пусть Х - замкнутое ограниченное множество, а функция f непрерывна на Х. Тогда f интегрируема на Х.

► Докажем: - → 0 для любой нормальной последовательности дроблений множества Х. Если μ_n(Х) = 0, справедливость этого утверждения оче- видна, так как в этом случае мера любого подмножества равна нулю и потому любая интегральная сумма равна нулю.

Пусть μ_n(Х) > 0, а - нормальная последовательность дроблений. Покажем, что - → 0, т.е.

N N - < ε )

Зададим ε > 0. Функция f, будучи непрерывной на замкнутом ограниченном мно- жестве Х, равномерно непрерывна на нем ( теорема Кантора); поэтому найдется δ > 0 та- кое, что если расстояние между двумя принадлежащими Х точками х′ и и х″ меньше δ, т.е. ,то |f (х′) – f(х″)| < . Пусть τ = - дробление, ранг которо- го меньше δ. Тогда расстояние между двумя любыми точками х′ и и х″, принадлежащими множеству X_j , меньше δ и, значит, |f (х′) – f(х″)| < . Отсюда и из утверждения б) леммы п. 1.2 следует: M_j - m_j ≤ , j = 1,2,…,l ; поэтому для любого дроб- ления τ, ранг которого меньше δ, справедливы неравенства

- = .

Пусть - нормальная последовательность дроблений, т.е. . Тогда су- ществует k_ε такое, что при всех k > k_ε будет выполнено условие , и потому при всех k > k_ε справедливо - . Так как здесь ε > 0 задано произвольно, то утверждение - → 0 доказано. ◄

Указанные в теореме 1требования к функции и множеству Х (непрерывность f и замкнутость Х ) не являются необходимыми условиями интегрируемости функции: интег- рируемая функция может иметь точки разрыва; множество определения интегрируемой функции может не быть замкнутым. Так например, справедлива теорема, формулировка которой приведена ниже.

Пусть функция f определена на некотором множестве , а Ω есть совокуп- ность тех точек множества Х , в которых f не является непрерывной по множеству Х, т.е. если х₀ , то либо предел f по множеству Х в этой точке не существует, либо этот пре- дел существует, но отличен от f (х₀ ).

Определение . Будем говорить, что функция f непрерывна почти везде на множе- стве Х, если верхняя мера множества Ω равна нулю.

Заметим, что непрерывная на Х функция удовлетворяет этому определению ( мно -. жество Ω пусто)

Теорема 2. Пусть Х – любое измеримое ограниченное множество, а f ограни- чена и непрерывна почти везде на нём. Тогда f интегрируема на Х.

Доказательство этого утверждения мы здесь не приводим ; его можно найти в руко- водствах по математическому анализу.

Ниже в формулировках свойств интегрируемых функций Х - ограниченное измеримое множество, рассматриваемые функции интегрируемы на нём.

1. Сумма функций, интегрируемых на Х, интегрируема на Х .

► Пусть функции f и g интегрируемы на множестве Х , а h = f + g . Рассмотрим дробление τ = множества Х. Тогда ( см. лемму, п. 2.1 ) при всех j = 1,2,…,l спра- ведливы неравенства и . Отсюда: = = = .

Таким образом, при любом дроблении τ

Пусть - нормальная последовательность дроблений множества Х. При каждом натуральном k

0 ≤ . Так как функции f и g интегрируемы, обе скобки в правой части этого неравенства стре- мятся к нулю. Значит, , т.е. h интегрируема на Х. ◄

2. Пусть функция f ограничена на Х, а f и f - ее составляющие. Для того, чтобы f была интегрируемой на Х, необходимо и достаточно, чтобы на Х были интегрируемы f и f .

► Пусть τ = - некоторое дробление множества Х. В силу свойства 2., п.2.4,

=

. Пусть - нормальная последовательность дроблений множества Х. Для каждого на- турального k справедливо равенство

(5)

Необходимость. Пусть f интегрируема на Х. Тогда левая часть равенства (5) стре- мится к нулю при . Обе скобки в его правой части неотрицательны; поэтому каждая из них стремится к нулю, т.е. f и f интегрируемы на Х .

Достаточность. Пусть f и f интегрируемы на Х. Тогда скобки в правой части равенства (5) стремятся к нулю при . Значит, , т.е. f интег- рируема на Х. ◄

3. Если f интегрируема на Х, то функция g = | f | также интегрируема на Х.

► Так как f интегрируема, то интегрируемы f и f ; функция g = | f | = f + f интегрируема как сумма интегрируемых функций. ◄

4. Произведение функций, интегрируемых на Х, интегрируемо на Х .

► Пусть h = f g . Рассмотрим дробление τ = . Применив утверждение г) леммы из п. 1.2 к множеству , можем записать :

.

Это неравенство справедливо при всех j = 1,2, …,l. Умножая обе его части на и по- членно складывая неравенства при j = 1,2, …,l, получим для произвольного дробления τ:

Пусть - нормальная последовательность дроблений множества Х. При каждом натуральном k

Так как f и g интегрируемые функции, обе скобки в правой части равенства стремятся к нулю при . Значит, 0, т.е. h - интегрируемая функция. ◄

Замечание. Произведение интегрируемой функции на число есть интегрируемая функция.

► Пусть функция f интегрируема на множестве Х, а λ – заданное число. Зададим на Х функцию g: g(х) ≡ λ . Очевидно, эта функция интегрируема на Х. Значит, произве дение f g , т.е. функция h = λf интегрируема на Х. ◄

5. Пусть множество Х разделено на два измеримых непересекающихся множества Х₁ и Х₂,: Ø. Если функция f интегрируема на Х, то она интег- рируема на Х₁ и на Х₂.

► Пусть - некоторое дробление множества Х₁, а - некоторое дробление множества Х₂. Через , где , обозначим дробле- ние множества Х , образованное всеми подмножествами и всеми подмножества- ми . Будем говорить, что дробление τ есть обьединение дроблений и и записывать при этом: τ = . Заметим: если τ = ,то = + + ; аналогичное равенство справедливо и для верхних интегральных сумм. Отсюда :

= ( ) + ( ) (6)

Пусть и - нормальные последовательности дроблений множеств Х₁ и Х₂ соответственно, и пусть при всех натуральных k τ_k = . Очевидно, есть нормальная последовательность дроблений множества Х. Из (6) получаем для всякого натурального k :

=( ) - ( ). (7)

Так как функция f интегрируема на множестве Х, а есть нормальная после- довательность дроблений, то ; обе разности интегральных сумм в скобках в правой части (7) неотрицательны, значит, каждая из этих разностей стремится к нулю: и , где - произволь- ная нормальная последовательность дроблений множества Х₁; следовательно, f интегри- руема на множестве Х₁ и на множестве Х₂ ._. ◄

6. Подграфик неотрицательной интегрируемой на множестве Х функции f есть измеримое множество.

► Пусть f неотрицательна и интегрируема на множестве Х , а - некоторая нормальная последовательность дроблений э того множества. При всяком натуральном k имеем (см. (2), § 2): (τ_k) T_f,X . Введём обозначения:

. Заметим, что оба эти множества измеримы, ибо являются соответственно обьединением и пересечением счётного количества измеримых множеств. Так как при всяком натуральном k (τ_k) ,то (τ_k) G F . Значит, F \ G \ (τ_k); отсюда следует:

при всяком натуральном k: ( F \ G) ≤ . Имеем: ( \ (τ_k) ) = ( ) - ( (τ_k) ) = - . Следовательно, ( F \ G) = 0 .

Так как при всяком натуральном k (τ_k) , то G F. Множе- ство T_f,X \ содержится в F \ G и потому является измеримым ( см. замечание 4, п. 1.5.) Очевидно, T_f,X = G . Таким образом, подграфик T_f,X - измеримое множество, ибо является обьединением двух измеримых множеств G и T_f,X \ .◄

7. График интегрируемой функции является измеримым множеством, а его мера равна нулю:

► Пусть функция f интегрируема и неотрицательна на множестве Х, а есть нормальная последовательность дроблений этого множества. При каждом натуральном k имеем (см. п.2.3): , и . ( ) = Отсюда:

( ) = ( ) = . Следовательно, = 0. Значит ( см. п.1.3, утверждение 4), – измеримое множество, и = 0.

Пусть теперь f – любая интегрируемая на Х функция. Обозначим: , где , а - график функции на множестве Х. Функция неотри- цательна на Х и интегрируема как разность интегрируемых функций f и g , где g(x) ≡ m. По доказанному выше мера графика равна нулю. Множества и конгру- ентны, так как получается сдвигом вдоль координатной оси на величину m. Значит, = = 0 ◄