7. Проверка условия устойчивости фильтра

Устойчивость фильтра определяется значениями коэффициентов b₁ и b₂.

.

Корни этого уравнения: , .

Фильтр устойчив, когда Z 1.или , т.е. .

Рассмотрим два случая:

1. Когда дискриминант больше либо равен нулю , отсюда:

в результате решения этого неравенства получаем четыре попарно равных неравенства: .

2. Когда дискриминант меньше нуля , то:

.

По полученным неравенствам построим треугольник устойчивости:

Треугольник устойчивости

Так как точка с координатами (b₁,b₂) внутри треугольника устойчивости, то ЦФ ФНЧ является устойчивым.

Колебательные системы (КС): .

Апериодические системы (АС): .

Судя по треугольнику устойчивости, данный ЦФ ФНЧ является колебательной системой.

8. Расчет первых 10 отсчетов импульсной и переходной характеристик, выражение для системной функции и ачх цф

Выражение для передаточной функции фильтра, рассчитанного методу билинейного преобразования:

,

где , , , , .

Расчет АЧХ для фильтра, синтезированного по методу билинейного преобразования:

,

В системной функции H(z) производится замена z^-1  exp(-jT):

,

разложение экспоненты через синусы и косинусы:

, где

,

.

АЧХ: .

С помощью передаточной функции запишем разностное уравнение:

, n0.

Для расчета первых 10 отсчетов импульсной характеристики производится замена: , где ,

.

Численные значения первых 10 отсчетов импульсной характеристики:

y(0)=0,481; y(1)=0.639; y(2)= -0,069; y(3)= - 0,115; y(4)= 0,094;

y(5)= -0,034;y(6)= -7,245∙10^-4; y(7)= 9,178∙10^-3; y(8)= -5,976∙10^-3;

y(9)= 1,694∙10^-3; y(10)= 3,71∙10^-4.

График импульсной характеристики

Для расчета первых 10 отсчетов переходной характеристики в разностном уравнении производится замена: ,

где

Численные значения первых 10 отсчетов переходной характеристики:

График переходной характеристики

9. Структурная схема фильтра для прямой и канонической форм реализации

Системная функция ЦФ ФНЧ, синтезированного в пункте 3:

.

Структурная схема фильтра для прямой формы реализации

Структурная схема фильтра для канонической формы реализации

10. Алгоритм обработки фильтра для прямой и канонической форм реализации и объем вычислительных операций на один отсчет выходного сигнала

Исходя из структурной схемы фильтра для прямой и канонической форм реализации запишем разностное уравнение (n≥0):

На рисунке 10.1 проиллюстрирован принцип формирования выходного сигнала в ЦФ.

Пусть M = N = 2, (текущий шаг обработки n = 2)

∑

b2 ×

b1 ×

y(0)

y(1)

y(2)

y(3)

…

y(n)

y(n+1)

x(0)

× a2

Запись входного сигнала.

При n<0,

x(nT) ≡ 0.

T = 1c.

Выходной массив y(nT).

При n<0,

y(nT) ≡ 0.

x(1)

× a1

x(2)

× a0

x(3)

…

x(n)

x(n+1)

Рис. 10.1. – Формирование выходного сигнала в ЛЦФ

11. Расчет среднеквадратического значения шума квантования всех источников

Т.к. , то для уменьшения схему ЦФ можно упростить. Эквивалентная шумовая схема фильтра для прямой формы реализации учитывая то что т.е. умножения не происходит, и то что при умножении на целое число шумы не вносятся:

Эквивалентная шумовая схема фильтра для прямой формы реализации

Где - это шумы АЦП, это шумы вносимые при умножении на коэффициент , и это шумы вносимые при умножении на коэффициенты и соответственно. Нахождение среднеквадратического значения шума АЦП:

.

,

,

,

где и корни характеристического уравнения , а и корни характеристического уравнения .

То есть .

.

В результате преобразования и подстановки, получаем:

.

, , где С разрядность АЦП.

Принимаем разрядность АЦП равной 8. Тогда: , отсюда .

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при умножении на k₀:

.

,

,

.

Произведя расчет аналогичный расчету среднеквадратического значения шума АЦП, запишем аналитическое выражение для среднеквадратического значения шума вносимого при умножении на k₀:

.

Среднеквадратическое значение шума вносимого при умножении на k₀ в численном виде: , отсюда .

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при умножении на коэффициент b₁:

.

,

,

.

.

В результате преобразования и подстановки, получаем:

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при умножении на коэффициент b₁ в численном виде:

, отсюда: .

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при умножении на коэффициент b₂:

.

Вывод аналитического выражения для коэффициента b₂ и расчет численного его значения аналогичен, приведенному выше для коэффициента b₁.

Среднеквадратическое значение шума вносимого при умножении на коэффициент b₂ в численном виде:

, отсюда .

Эквивалентная шумовая схема фильтра для канонической формы реализации

Нахождение аналитического выражения для , вносимого со стороны АЦП, и , вносимого при умножении на коэффициент k_0, аналогично проведенному выше для прямой формы реализации ЦФ. Численные значения также будут совпадать.

,

,

, .

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при умножении на коэффициент b₁:

.

В численном виде: , .

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при умножении на коэффициент b₂ аналогично:

.

В численном виде: , отсюда .