2.3. Выбор формы уравнения регрессии

Как и в парной зависимости, возможны разные виды уравнений множест­венной регрессии: линейные и нелинейные.

Ввиду четкой интерпретации параметров наиболее широко используются линейная и степенная функции.

В уравнении линейноймножественной регрессии

(2.1)

параметры при х_i называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они харак­теризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фак­тора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Предположим, например, что зависимость расходов на продукты питания по совокупности семей характеризуется следующим уравнением:

где у - расходы семьи за месяц на продукты питания, тыс. руб.; х₁ - месячный доход на одного члена семьи, тыс. руб.; х₂ - размер семьи, человек.

Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы - с ростом дохода на одного члена семьи на 1 тыс. руб. расходы на питание возрастут в среднем на 350 руб. при том же среднем размере семьи. Иными словами, 35 % дополни­тельных семейных расходов тратится на питание. Увеличение размера семьи при тех же ее доходах предполагает дополнительный рост расходов на питание на 730 руб. Параметр а не подлежит экономической интерпретации.

В уравнении степенной функции

(2.2)

коэффициенты bj являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов изменяется в среднем результат с изменением соответст­вующего фактора на 1 % при неизменности действия других факторов. Этот вид уравнения регрессии получил наибольшее распространение в производст­венных функциях, в исследованиях спроса и потребления.

Предположим, что при исследовании спроса на мясо получено уравнение

или

где у - количество спрашиваемого мяса; x1 - цена; x2 - доход.

Следовательно, рост цен на 1 % при том же доходе вызывает снижение спроса в среднем на 2,63 %. Увеличение дохода на 1 % обусловливает при неизменных ценах рост спроса на 1,11 %.

В производственных функциях вида где Р - количество продукта, изготавливаемого с помощью m производст­венных факторов (F₁, F₂, ..., F_m), параметры b_i характеризуют эластичность ко­личества продукции по отношению к количеству соответствующего производ­ственного фактора.

Экономический смысл имеют не только коэффициенты b_i каждого факто­ра, но и их сумма, т. е. сумма эластичностей: B = b₁ + b₂ + ... + b_m. Эта величи­на фиксирует обобщенную характеристику эластичности производства.

Для построения уравнения множественной регрессии чаще всего ис­пользуются следующие функции:

• линейная - ;

• степенная - ;

• экспонента -

• гипербола -

Если исследователя не устраивает предлагаемый набор функций регрес­сии, то можно использовать любые другие функции, приводимые путем соот­ветствующих преобразований к линейному виду, например:

Обозначив

получим линейное уравнение множественной регрессии

Однако чем сложнее функция, тем менее интерпретируемы ее параметры. Если один и тот же фактор вводится в регрессию в разных степенях, то ка­ждая степень рассматривается как самостоятельный фактор. Так, если модель имеет вид полинома второго порядка

то после замены переменных z₁ = x₁, z₂ = x₂, z₃ = x₁², z₄ = x₂³, z₅ = x₁ x₂ получим линейное уравнение регрессии с пятью факторами:

Поскольку, как отмечалось, должно выполняться соотношение между чис­лом параметров и числом наблюдений, для полинома второй степени требуется не менее 30-35 наблюдений.