2.5. Комбинированный метод хорд и касательных
Если
и
- приближенные значения корня по
недостатку и избытку.
1. Если на , то
,
,
при этом
.
2. Если на , то
,
при этом .
Пример. Отделить корни аналитически и уточнить их комбинированным методом хорд и касательных с точностью до 0,001.
, следовательно, для вычислений применяем формулы
,
где
- значения корня по недостатку и избытку
соответственно,
.
xn
|
F(xn)
|
|
F( )
|
|
|
|
1,0000 |
-10,0000 |
2,0000 |
27,0000 |
1,0000 |
96 |
37,0000 |
1,2703 |
-8,3533 |
1,7188 |
6,0404 |
0,4485 |
55,127 |
14,3937 |
1,5305 |
-2,3064 |
1,6092 |
0,7100 |
0,0786 |
42,456 |
3,0164 |
1,5907 |
-0,0575 |
1,5925 |
0,0150 |
0,0018 |
40,6721 |
0,0725 |
1,5921 |
0,0000 |
1,5921 |
0,0000 |
0,0000 |
40,6332 |
0,0000 |
|
|
|
|
|
|
|
2.6.Метод итераций
Уравнение
следует привести к виду
.
Итерационный процесс сходится при
условии
на
.
Это требование накладывает ограничения на выбор величины k.
Таким образом, k
следует выбирать так, чтобы
,
и знак k
совпадал бы
со знаком
на
.
Уточнение корня
производится по формуле
,
где
- значение, взятое из промежутка
.
Точность вычисления можно оценить из соотношения
,
где
- точное значение корня,
Теорема
Если функция φ(x) удовлетворяет следующим условиям:
φ(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b];
φ(x) [a,b], для
x
[a,b];
<1,
x
[a,b],
то уравнение x=
φ(x)
имеет на отрезке [a,b]
единственный корень и
последовательность{xn}сходится
к этому корню независимо от начального
значения.
Пример. Отделить корни аналитически и уточнить их методом итераций с точностью до 0,001.
Отделим корни аналитически, для этого найдем критические точки функции, т. е. точки, в которых производная функции обращается в ноль и границы интервала, определим знак функции в них.
Производная
в точках
.
Составим таблицу знаков
|
-∞ |
1/3 |
3 |
+∞ |
Sign f(x) |
- |
+ |
- |
+ |
Так как наблюдается перемена знака функции, то уравнение имеет три действительных корня. Уменьшаем промежутки, содержащие корни.
|
-1 |
1/3 |
3 |
3,7 |
Sign f(x) |
- |
+ |
- |
+ |
Следовательно, корни следует искать на промежутках [-1;1/3], [1/3;3], [3;3.7].
Найдем корень на промежутке [-1;1/3]. Составим выражение
,
подобрав значение k
таким, чтобы обеспечить сходимость
итерационного процесса на данном
промежутке. Для этого вычислим значение
производной на концах отрезка
.
Тогда
В этом случае
Пусть
,
тогда уточненное значение корня
.
Вычисления приведены в таблице.
|
|
|
0 |
0,333 |
-0,415 |
1 |
-0,415 |
-0,897 |
2 |
-0,897 |
-0,853 |
3 |
-0,853 |
-0,871 |
4 |
-0,871 |
-0,864 |
5 |
-0,864 |
-0,867 |
6 |
-0,867 |
-0,866 |
7 |
-0,866 |
-0,866 |
8 |
-0,866 |
-0,866 |
На промежутке
[-1;1/3] найден корень
.
Теперь рассмотрим
промежуток [1/3;3]. На границах этого
отрезка
значения
производной равны нулю
,
а внутри отрезка
для всех значений
.
Вторая производная
в точке
,
значение первой производной в этой
точке
,
тогда значение
обеспечит сходимость итерационного
процесса.
,
.
Вычисления приведены в таблице
|
|
|
0 |
3,000 |
2,333 |
1 |
2,333 |
2,160 |
2 |
2,160 |
2,236 |
3 |
2,236 |
2,199 |
4 |
2,199 |
2,217 |
5 |
2,217 |
2,208 |
6 |
2,208 |
2,212 |
7 |
2,212 |
2,210 |
8 |
2,210 |
2,211 |
9 |
2,211 |
2,211 |
10 |
2,211 |
2,211 |
На промежутке
[1/3;3] найден корень
.
Рассмотрим отрезок
[3;4], значение производной на концах
отрезка
,
можно взять
,
тогда
,
.
|
|
|
0 |
4,000 |
3,700 |
1 |
3,700 |
3,670 |
2 |
3,670 |
3,660 |
3 |
3,660 |
3,657 |
4 |
3,657 |
3,656 |
5 |
3,656 |
3,656 |
6 |
3,656 |
3,656 |
На промежутке
[3;4] найден корень
.
Пример Решить
уравнение
,
корни отделить графически.
Для отделения
корней строим графики функций
,
точки пересечения этих графиков являются
корнями заданного уравнения (рис. 1).
Рис.1.
На графике видно, что уравнение имеет два корня на интервалах [-0,5;0] и [1;1,5]. Уточним эти корни с помощью изученных ранее методов. Результаты использования метода половинного деления на интервале [-0,5;0] приведены в таблице
|
|
|
|
|
|
0 |
-0,5000 |
0,0000 |
-0,2500 |
|
0,4870 |
1 |
-0,2500 |
0,0000 |
-0,1250 |
|
-0,1079 |
2 |
-0,2500 |
-0,1250 |
-0,1875 |
|
0,1762 |
3 |
-0,1875 |
-0,1250 |
-0,1563 |
|
0,0308 |
4 |
-0,1563 |
-0,1250 |
-0,1407 |
|
-0,0393 |
5 |
-0,1563 |
-0,1407 |
-0,1485 |
|
-0,0042 |
6 |
-0,1563 |
-0,1485 |
-0,1524 |
|
0,0134 |
7 |
-0,1524 |
-0,1485 |
-0,1505 |
|
0,0045 |
8 |
-0,1505 |
-0,1485 |
-0,1495 |
|
0,0003 |
9 |
-0,1495 |
-0,1485 |
-0,1490 |
|
-0,0020 |
10 |
-0,1495 |
-0,1490 |
-0,1493 |
|
-0,0009 |
11 |
-0,1495 |
-0,1493 |
-0,1494 |
|
-0,0002 |
12 |
-0,1495 |
-0,1494 |
-0,1495 |
|
0,0000 |
В результате найден
корень
.
Аналогично на интервале [1;1,5] ищется
корень
:
|
|
|
|
|
0 |
1,0000 |
1,5000 |
1,2500 |
-0,5192 |
1 |
1,2500 |
1,5000 |
1,3750 |
-0,1264 |
2 |
1,3750 |
1,5000 |
1,4375 |
0,0882 |
3 |
1,3750 |
1,4375 |
1,4063 |
-0,0205 |
4 |
1,4063 |
1,4375 |
1,4219 |
0,0336 |
5 |
1,4063 |
1,4243 |
1,4153 |
0,0107 |
6 |
1,4063 |
1,4153 |
1,4108 |
-0,0049 |
7 |
1,4108 |
1,4153 |
1,4131 |
0,0029 |
8 |
1,4108 |
1,4131 |
1,4120 |
-0,0009 |
9 |
1,4120 |
1,4131 |
1,4126 |
0,0012 |
10 |
1,4120 |
1,4126 |
1,4123 |
0,0003 |
11 |
1,4120 |
1,4123 |
1,4122 |
-0,0002 |
12 |
1,4122 |
1,4123 |
1,4123 |
0,0001 |
Корни могут быть найдены методом касательных, причем количество итераций, потребовавшихся для отыскания корней, меньше.
|
|
0,0000 |
-0,5973 |
-0,1707 |
0,0973 |
-0,1498 |
0,0015 |
-0,1494 |
0,0000 |
|
|
1,5000 |
0,3139 |
1,4151 |
0,0100 |
1,4122 |
0,0000 |
Корни данного
уравнения найдены:
