2.3. Метод хорд
В данном методе в качестве приближения выбирается не середина отрезка, а точка пересечения хорды с осью абсцисс. Уравнение хорды АВ, соединяющей концы отрезка :
(1)
Точка пересечения
с осью абсцисс имеет координаты
,
подставим в (1) и найдем
(2).
Сравниваем знаки
и выбираем отрезок для следующей итерации
как в методе половинного деления: отрезок
на границах которого функция принимает
значения разных знаков. Итерационный
процесс заканчивается при выполнении
условия
.
Если
на
,
то
,
(3)
при этом
.
Если
на
,
то
(4)
при этом
.
Пример. Отделить корни аналитически и уточнить их методом хорд с точностью до 0,001.
Корень располагается
в промежутке [1;2] (см. предыдущий пример).
Чтобы уточнить корень найдем вторую
производную
В промежутке [1;2] вторая производная положительна.
,
следовательно, для вычислений применяем
формулу
где
.
Вычисления приведены в таблице.
|
|
1,0000 |
-10,0000 |
1,2703 |
-8,3533 |
1,4427 |
-4,9691 |
1,5293 |
-2,3485 |
1,5670 |
-0,9873 |
1,5823 |
-0,3944 |
1,5883 |
-0,1543 |
1,5906 |
-0,0599 |
1,5915 |
-0,0232 |
1,5919 |
-0,0090 |
1,5920 |
-0,0035 |
1,5921 |
-0,0013 |
1,5921 |
-0,0005 |
1,5921 |
-0,0002 |
1,5921 |
-0,0001 |
1,5921 |
0,0000 |
Таким образом, найден корень
2.4. Метод касательных (метод Ньютона).
Mетод
состоит в том, что приближение корня
ищется как координата точки пересечения
касательной с осью Оx,
проведенной к кривой
в точке
.
При этом начальное приближение
не требует определения отрезка
.
Уравнение касательной, проходящей через заданную точку к кривой имеет вид:
(3)
Тогда следующее приближение корня определяется как точка пересечения этой касательной с осью абсцисс:
,
аналогично для n+1
–го приближения получим
(4), где
.
В формуле (4) , если ; , если на .
Для окончания
итерационного процесса используется
либо условие
либо условие
.
Пример. Отделить корни аналитически и уточнить их методом касательных с точностью до 0,001.
,
следовательно, для вычислений применяем
формулу
,
где
.
Вторая производная
Вычисления представлены в таблице.
|
|
|
|
2,0000 |
27,0000 |
96 |
0,28125 |
1,7188 |
6,0404 |
55,12756 |
0,10957 |
1,6092 |
0,7100 |
42,456 |
0,01672 |
1,5925 |
0,0150 |
40,6721 |
0,00037 |
1,5921 |
0,0000 |
40,63327 |
1,8E-07 |
Данные вычислений
показывают, что разница между корнями
достигает требуемой точности на четвертой
итерации. Таким образом, получен корень
.