2.2. Метод половинного деления

Простейшим итерационным методом нахождения корней нелинейных уравнений является метод дихотомии (метод бисекций, половинного деления). Его алгоритм содержит следующие этапы:

1. Найти отрезок , в котором распложен корень уравнения.

2. В качестве начального приближения взять .

3. Вычислить значения функции на концах отрезков и : .

4. Выбрать отрезок, на концах которого значения функции имеют разные знаки, и использовать его в качестве нового отрезка для следующей итерации.

В результате каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, после n итераций он сокращается в раз. Точность (погрешность) вычислений задается некоторым малым числом . Процесс вычислений продолжается до тех пор, пока значение функции после n-й итерации не станет меньшим по модулю этого заданного малого числа : , длина полученного отрезка становится меньше погрешности. Метод дихотомии медленно сходится к точному решению, однако он сходящийся.

Пример. Отделить действительные корни аналитически и уточнить их методом дихотомии с точностью до 0,001.

Обозначим

Найдем производную

Составим таблицу знаков

	-∞	-2	0	1	+∞
Signf(x)	-	-	-	-	+

Существует одна перемена знака функции, поэтому уравнение имеет один действительный корень на промежутке [1;+∞). Уменьшаем промежуток, содержащий корень так, чтобы его длина была равна единице.

	1	2
Sign f(x)	-	+

Следовательно, корень необходимо искать на промежутке [1;2].

Все вычисления приведены в таблице.

0	1,0000	2,0000	1,5000			-3,3125
1	1,5000	2,0000	1,7500			7,8242
2	1,5000	1,7500	1,6250			1,3953
3	1,5000	1,6250	1,5625			-1,1567
4	1,5625	1,6250	1,5938			0,0677
5	1,5625	1,5938	1,5781			-0,5571
6	1,5781	1,5938	1,5859			-0,2479
7	1,5859	1,5938	1,5898			-0,0909
8	1,5898	1,5938	1,5918			-0,0118
9	1,5918	1,5938	1,5928			0,0279
10	1,5918	1,5928	1,5923			0,0080
11	1,5918	1,5923	1,5920			-0,0019
12	1,5920	1,5923	1,5922			0,0031
13	1,5920	1,5922	1,5921			0,0006
14	1,5920	1,5921	1,5921			-0,0006
15	1,5921	1,5921	1,5921			0,0005

Найден корень