1.4. Обеспечение заданной точности результата

Рассмотрим следующую часто возникающую задачу: значение функции f(x₁,x₂) вычисляется при приближенных значениях x⁰₁ и x⁰₂ аргументов. Требуется определить, насколько малыми должны быть погрешности ∆x₁ и ∆x₂ этих аргументов для того, чтобы неустранимая погрешность вычисления функции не превосходила заданной величины ε > 0.

Это требование можно записать в виде неравенства

(используя формулу (6')). Таким образом, для определения погрешностей ∆x₁ и ∆x₂ получим одно неравенство с двумя неизвестными, которое имеет бесконечно много решений. Множество решений изображено на рис.3. Любая точка из этого множества дает приемлемые значения погрешностей. Для выделения определенного решения задачи может быть использован принцип равных влияний, согласно которому должны быть разными « вклады» в суммарную погрешность, вызванные неточностями аргументов. Допустимые значения погрешностей определяются из неравенства: ,

Или, что все равно, из условия:

, (9)

Если рассматриваемая функция от нескольких переменных, то в знаменателе вместо двойки появляется число переменных.

Принципом равных влияний разумно пользоваться лишь в случае, когда обеспечение нужной точности определения значений переменных сопряжено с примерно одинаковыми затратами труда. Если же эти затраты существенно различны, то разумнее считать большим « вклад» более трудноизмеримой величины. Считать, например, что он составляет 80-90% от допустимой суммарной погрешности.

Пример 4. Площадь треугольника определяется по двум его сторонам a= 10 см, b=15см и углу =35⁰ между ними. Определить погрешности измерения указанных величин, при которых абсолютная погрешность площади не превосходит =2см²

Начнем с вычисления площади .

При определении sin использовались трехзначные таблицы, дающие значения функции с погрешностью ∆_т=5 *10^-4 . Вызванная этим погрешность метода составляет

∆_мет=½ *10*15*5*10^-4=0.04

Произведенное округление дает погрешность 0.05 . Следовательно,

∆_мет+∆_окр=0.09

и неустранимая погрешность не должна превосходить =1.91 . Имеем, ; ;

По принципу равных влияний получим:

; ;

Глава 2.Численные методы решения уравнений

2.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Рассмотрим уравнение вида:

. (1)

Необходимо определить имеет ли данное уравнение решение, если уравнение разрешимо, то сколько имеется решений и затем отыскать корень (корни) уравнения с заданной точностью. Корнем уравнения является такое значение , при подстановке которого в уравнение (1) последнее превращается в тождество .

Универсального метода решения уравнений всех типов не существует. Существующие методы, как правило, имеют многошаговый, итерационный характер. Исходным является некоторое грубое начальное приближение , которое уточняется на следующем этапе работы алгоритма. При этом получается новое приближение и процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность вычислений. В результате формируется последовательность значений .

Структура алгоритмов, используемых для отыскания корней уравнения, должна удовлетворять следующим требованиям:

1. способ построения приближенных решений должен обеспечивать получение «лучшего» следующего приближения по сравнению с предыдущим;

2. последовательность приближений должна сходиться к точному решению уравнения;

3. алгоритм должен содержать метод оценки погрешности приближенного решения.

Итерационные метод- это метод последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня состоит из двух этапов:

1. отыскание приближенного значения корня или отрезка, содержащего корень;

2. получение приближенного значения с заданной степенью точности.

Приближенное значение корня (начальное приближение) может быть найдено с помощью графических методов или другой априорной оценки. Для отделения корней можно использовать Первую теорему Больцано-Коши, если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка, то существует точка принадлежащая этому отрезку, в которой функция равна нулю (уравнение имеет на отрезке хотя бы один корень). В качестве начального приближения можно взять середину этого отрезка. Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения. Каждый шаг называется итерацией и в результате выполнения итераций формируется последовательность приближенных значений корня . Итерационный процесс сходится, если с ростом n эти значения приближаются к истинному значению корня.