1.3. Неустранимая погрешность вычисления значения функции

Оценим неустранимую погрешность вычисления значения функции на примере функции f(x₁,x₂) двух переменных, предполагая, что приближенные значения , переменных имеют абсолютные погрешности ∆ и ∆ _. В этих условиях точка M(x₁,x₂), координаты которой совпадают с неизвестными точными значениями переменных x₁ и x₂ лежит в прямоугольнике

D={(x₁,x₂): | x₁- | ≤∆ , | x₂ - | ≤∆ }

Выведем формулу, предполагая, что в прямоугольнике D функция f(x₁,x₂) имеет непрерывные частные производные первого порядка, причем | f ´ (x₁,x₂) | ≤M₁ и | f ´ (x₁,x₂) | ≤ M₂ для любой точки (x₁,x₂) D

Для получения оценки абсолютной величины разности f( , ) – f( , ) используем формулу конечных приращений, по которой

f( , ) – f( , ) =

Точка принадлежит отрезку [ ] и прямоугольнику D. Переходя к абсолютным величинам получим:

f( , ) – f( , ) (5)

Так как точка С(с₁ ,с₂) D ,то и . Кроме того,

| x₁ - | ≤ ∆ , | x₂ - | ≤ ∆ . Заменив в правой части неравенства (5) все величины их верхними границами, получим

f( , ) – f( , )

Последнее неравенство показывает, что за абсолютную неустранимую погрешность вычисления значения функции можно принять величину

(6)

в которой - абсолютные погрешности аргументов, а и верхние границы абсолютных величин производных f ´_x1 и f´_x2 и в области

При малых значениях погрешностей обычно пользуются простой приближенной формулой, полученной из (6) заменой верхних границ и значениями производных в «приближенной» точке ( , ).

(6`)

Для компенсации возможной неточности формулы (6´) полученное значение округляют в сторону больших значений.

Формулы (6) и (6´) обобщаются на случай любого числа переменных.

Неустранимая погрешность вычисления значения функции f (x₁,x₂ ,…..,x_n) находится по любой из формул:

или

Где – верхняя граница значений в области, определенной неравенствами

Пример 1. Оценить погрешность вычисления функции f(x)=x² , если значения аргумента x⁰=10 определено с погрешностью ∆_x=0,5

В данном случае точное значение аргумента лежит в отрезке D=[9,5; 10,5] .

В этом отрезке

По формуле (6) получаем

Если использовать формулу (6´), то получим и

Фактически погрешность равна

и, следовательно, по формуле (6´) получено заниженное значение погрешности.

Пример 2. Оценить полную погрешность вычисления функции при условии, что приближенные значения аргументов и определены с погрешностями

и .

Вычислим неустранимую погрешность. В нашем случае

Далее, ;

Следовательно,

Так как ,то для получения хотя бы двух верных знаков после запятой необходимо для вычисления функции f (x,y) применить четырехзначные таблицы, . При этом . Вычисление дает .

Последняя цифра является сомнительной. Поэтому при округлении, отбрасываем ее. Погрешность округления и полная погрешность . Следовательно, результат содержит две верных цифры после запятой, т.е. .

Используя формулой (6) и (6'), установим два полезных правила вычисления погрешности арифметических действий.

1. Абсолютная погрешность алгебраической суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых, т.е.

(7)

Для обоснования правила рассмотрим функцию

Для нее и . Соглаcно формуле (7),

2. Относительная погрешность произведения (частного) равна сумме относительных погрешностей сомножителей (числителя и знаменателя):

и (8)

Оба соотношения устанавливаются одинаково, поэтому ограничимся обоснованием второго из них. Для функции имеем и . По формуле (6') получаем .

Следовательно,

При выводе второго правила применялась приближенная формула (6'), следовательно правило приближенное. Правилом можно пользоваться при малых относительных погрешностях (когда можно пренебречь произведением ).

Оба правила обобщаются на любое число слагаемых или сомножителей.

Пример 3. Найти неустранимую погрешность вычисления значения функции , если x₁=2.00±0.05; x₂=3.00±0.01.

Для вычисления используем рассмотренные правила. Абсолютная погрешность числителя равна ; его значением служит . Следовательно, относительная погрешность числителя

Для знаменателя аналогично получаем:

Следовательно, δ_f=δ_ч+δ_зн= =0.024 или δ_f=2.4%;