6.1. Метод Эйлера
Простейшим
одношаговым численным методом решения
задачи Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения является
метод Эйлера. Метод основан на разложении
искомой функции
в ряд Тейлора в окрестности точки
,
являющейся узлом сетки. В этом разложении
отбрасываются члены, содержащие
производные второго и более высоких
порядков.
(3)
Заменим значения
функции
в узлах
значениями сеточной функции
.
,
то значение первой производной в узлах
сетки
.
Допустим, узлы сетки являются
равноотстоящими, т.е.
.
Шаг изменения аргумента
определяется
промежутком, в котором находится решение
и количеством требуемых значений
функции. Если X
правая граница исследуемого промежутка
значений аргумента, а n-
количество значений функции, то шаг
.
Если внутри отрезка
функция
сохраняет постоянное значение, то
,
где
- значение искомой функции в точке
или
.
Повторяя этот алгоритма получим
последовательные значения функции
Соотношения
имеют рекуррентный вид и представляют
собой разностную схему метода Эйлера.
Значения сеточной функции в любом узле
вычисляются по значению в предыдущем
узле. Метод Эйлера относится к одношаговым.
Интегральная
кривая имеет вид ломаной линии с
вершинами в точках
.
При решении задачи Коши методом Эйлера выбирается начальное приближение
,
где
,
(4)
а затем это
значение уточняется по формуле
(5)
Пример. Решить
задачу Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения первого
порядка
на отрезке
с шагом 0,1 при начальном условии
.
Вычисления проводить с четырьмя десятичными знаками.
Решение.
Используем для первичной оценки значения функции формулу
, (6)
а для уточнения - формулу
. (7)
,
(8)
(9)
Последовательность вычислений:
Подставив начальные значения
в выражение (8), получим значение
и запишем его в столбец 4 таблицы.
2. Найдем грубую
оценку
и запишем в столбец 5.
3. Подставим значения
в (9) получим
,
запишем в столбец 7.
4.Найдем точное
значение
и запишем в столбец 8.
5. Перезаписываем
полученное значение в столбец 3 в строку,
соответствующему следующему значению
аргумента
и теперь оно является исходным значение
для расчета на следующем шаге.
6. Повторяем пп. 1-5 до полного заполнения таблицы.
Таблица 1
|
|
|
|
|
оценка |
|
Точное Значение |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0 |
0,3 |
0,5000 |
0,9895 |
0,0989 |
0,5989 |
1,1467 |
0,6068 |
1 |
0,4 |
0,6068 |
1,1589 |
0,1159 |
0,7227 |
1,3438 |
0,7319 |
2 |
0,5 |
0,7319 |
1,3581 |
0,1358 |
0,8678 |
1,5755 |
0,8786 |
3 |
0,6 |
0,8786 |
1,5923 |
0,1592 |
1,0379 |
1,8478 |
1,0506 |
4 |
0,7 |
1,0506 |
1,8676 |
0,1868 |
1,2374 |
2,1678 |
1,2524 |
5 |
0,8 |
1,2524 |
2,1910 |
0,2191 |
1,4715 |
2,5436 |
1,4891 |
6 |
0,9 |
1,4891 |
2,5709 |
0,2571 |
1,7462 |
2,9850 |
1,7669 |
7 |
1 |
1,7669 |
3,0170 |
0,3017 |
2,0686 |
3,5031 |
2,0929 |
8 |
1,1 |
2,0929 |
3,5406 |
0,3541 |
2,4470 |
4,1111 |
2,4755 |
9 |
1,2 |
2,4755 |
4,1551 |
0,4155 |
2,8910 |
4,8243 |
2,9245 |
10 |
1,3 |
2,9245 |
|
|
|
|
|
В результате расчета получим таблицу значений функции, удовлетворяющих исходному дифференциальному уравнению.
|
|
0,3 |
0,5000 |
0,4 |
0,6068 |
0,5 |
0,7319 |
0,6 |
0,8786 |
0,7 |
1,0506 |
0,8 |
1,2524 |
0,9 |
1,4891 |
1 |
1,7669 |
1,1 |
2,0929 |
1,2 |
2,4755 |
1,3 |
2,9245 |
Существует модификация метода, которая называется методом Эйлера с уточнением и содержит вместо одного три приближения. Вычисления продолжаются до тех пор, пока два последовательных приближения не совпадут.
Пример. Используя
метод Эйлера с уточнением, составить
таблицу приближенных значений интеграла
дифференциального уравнения
,
удовлетворяющего начальным условиям
на отрезке
.
Значение шага взять равным 0,1. Все
вычисления вести с четырьмя десятичными
знаками.
Последовательность вычислений:
1. Значение производной в начальной точке (k=0)
записываем в (графу
4).
2. Вычисляем нулевое приближение для k=0:
и записываем в
(графу 5).
Значение аргумента для k+1=1
.Первое уточнение для k=0
(графа
6)
(графа 7)
Второе уточнение
(графа 8)
(графа 9)
Вычисляем производную, соответствующую полученному уточненному значению
(графа 10)
,
следовательно, переходим к следующей
итерации для k=1.
Приняв k=1 и
повторяем
вычисления в соответствии с пп 1-6.
Результаты вычислений представлены в таблице 2.
|
|
|
|
yk+1(0) |
|
yk+1(1) |
fk+1(1) |
yk+1(2) |
fk+1(2) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
0,4 |
2,2000 |
1,3822 |
2,3382 |
1,4554 |
2,3419 |
1,4545 |
2,3418 |
1,4545 |
1 |
0,5 |
2,3418 |
1,4545 |
2,4873 |
1,5135 |
2,4902 |
1,5125 |
2,4902 |
1,5125 |
2 |
0,6 |
2,4902 |
1,5125 |
2,6414 |
1,5565 |
2,6436 |
1,5556 |
2,6436 |
1,5556 |
3 |
0,7 |
2,6436 |
1,5556 |
2,7992 |
1,5847 |
2,8006 |
1,5840 |
2,8006 |
1,5840 |
4 |
0,8 |
2,8006 |
1,5840 |
2,9590 |
1,5993 |
2,9597 |
1,5989 |
2,9597 |
1,5989 |
5 |
0,9 |
2,9597 |
1,5989 |
3,1196 |
1,6019 |
3,1198 |
1,6018 |
3,1198 |
1,6018 |
6 |
1 |
3,1198 |
1,6018 |
3,2799 |
1,5948 |
3,2796 |
1,5951 |
3,2796 |
1,5951 |
7 |
1,1 |
3,2796 |
1,5951 |
3,4391 |
1,5805 |
3,4384 |
1,5810 |
3,4384 |
1,5810 |
8 |
1,2 |
3,4384 |
1,5810 |
3,5965 |
1,5613 |
3,5955 |
1,5621 |
3,5956 |
1,5621 |
9 |
1,3 |
3,5956 |
1,5621 |
3,7518 |
1,5397 |
3,7506 |
1,5406 |
3,7507 |
1,5406 |
10 |
1,4 |
3,7507 |
1,5406 |
|
|
|
|
|
|
