5.3. Формула Симпсона (формула парабол)
Для получения
формулы Симпсона коэффициенты Котеса
(5) вычисляются при
.
(11)
В результате квадратурная формула примет вид
(12)
Учитывая, что
получим формулу Симпсона для приближенного
интегрирования
(13)
Геометрический
смысл формулы Симпсона состоит в том,
что в кривая
заменяется параболой
,
проходящей через три точки
.
Остаточный член формулы Симпсона равен
Зафиксируем среднюю
точку
,
и запишем выражение для остаточного
члена, как функции от
(14)
Остаточный член формулы Симпсона равен
(15)
Формула Симпсона имеет повышенную точность для многочленов второй и третьей степени.
Пусть
есть четное число и
значения функции в равноотстоящих
точках
с шагом
. Применяя формулу Симпсона (13) к каждому
удвоенному промежутку
длины
получим
.
После преобразования правой части получим формулу Симпсона в виде удобном для вычислений
(18)
Погрешность вычисления при использовании формулы Симпсона
Пример. Вычислить
интеграл I=
по формуле Симпсона при n=10
и оценить погрешность результата с
помощью таблицы конечных разностей.
Вычислим шаг
- подынтегральная
функция.
Значения подынтегральной функции
|
|
|
0 |
1,20 |
0,2767 |
1 |
1,36 |
0,2644 |
2 |
1,52 |
0,2548 |
3 |
1,68 |
0,2468 |
4 |
1,84 |
0,2396 |
5 |
2,00 |
0,2330 |
6 |
2,16 |
0,2269 |
7 |
2,32 |
0,2212 |
8 |
2,48 |
0,2157 |
9 |
2,64 |
0,2106 |
10 |
2,80 |
0,2058 |
Значение интеграла вычисляем по формуле:
|
0,4825 |
|
1,1759 |
|
0,9370 |
Значение интеграла |
0,3765 |
Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функции до разностей четвертого порядка
|
|
|
|
|
|
0 |
0,2767 |
-0,01230 |
0,00273 |
-0,00126 |
0,00068 |
1 |
0,2644 |
-0,00957 |
0,00148 |
-0,00057 |
0,00029 |
2 |
0,2548 |
-0,00809 |
0,00090 |
-0,00028 |
0,00013 |
3 |
0,2468 |
-0,00719 |
0,00062 |
-0,00015 |
0,00006 |
4 |
0,2396 |
-0,00657 |
0,00046 |
-0,00009 |
0,00003 |
5 |
0,2330 |
-0,00611 |
0,00038 |
-0,00005 |
0,00002 |
6 |
0,2269 |
-0,00573 |
0,00032 |
-0,00004 |
0,00001 |
7 |
0,2212 |
-0,00541 |
0,00029 |
-0,00003 |
|
8 |
0,2157 |
-0,00512 |
0,00026 |
|
|
9 |
0,2106 |
-0,00487 |
|
|
|
Из таблицы следует,
что
,
тогда остаточный член, определяющий
погрешность вычислений, будет равен
.
Требование к точности вычисления ограничивается четырьмя знаками после запятой, остаточный член на два порядка меньше, следовательно, необходимая точность вычислений достигнута.