Предисловие

Настоящее методическое пособие написано в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов по математике для специалистов и бакалавров в области экономики. Методическое пособие включает в себя раздел численные (вычислительные) методы. В методическом пособии уделяется внимание основным численным методам необходимым для применения к экономическим исследованиям. Цель дисциплины – дать необходимый математический аппарат и привить навыки его использования при решении инженерно-экономических задач.

Численные методы изучаются как средство формирования фундаментальных знаний и как аппарат для экономических исследований. Материал пособия является необходимой основой для проведения междисциплинарных современных экономических исследований, а также для овладения новыми технологиями и их внедрением в научные исследования.

Численные методы - средство анализа математико-экономических моделей, для которых неприменимы или трудоёмки аналитические методы. Пособие необходимо для использования численных методов в практической деятельности, учит алгоритмическому мышлению. Основная задача пособия – научить студентов и аспирантов, а также молодых ученых методам построения математических моделей экономических ситуаций с дальнейшим их решением с применением вычислительной техники на основе рассматриваемых алгоритмов численных методов с последующим анализом, имеющим целью принятия рационального или оптимального решения. В результате достигается также развитие логического, математического и алгоритмического мышления.

Пособие рекомендуется бакалаврам, магистрам, специалистам, аспирантам, а также молодым учёным и преподавателям занимающимся решением инженерно-экономических задач.

Введение

Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических и экономических процессов, требуют применения вычислительной техники и разработки численных методов решения. Для решения задач, которые не могут быть решены аналитически, разработаны алгоритмы, дающие приближённое решение. Часто приходиться встречаться с необходимостью решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка, с задачей отыскания корней алгебраических уравнений высоких степеней и корней трансцендентных уравнений, с решением дифференциальных уравнений, которые не интегрируются в элементарных функциях, и т.д.. Задачи такого рода требуют мощных вычислительных методов и мощных компьютеров. Основным методом, при помощи которого в вычислительной математике решаются поставленные задачи, является замена исходных пространств, пространствами более удобными для вычислительных целей. В результате решения приближенной задачи получается решение близкое в каком-то смысле к точному решению приближенной задачи. При наличии численных методов решения необходим сравнительный анализ различных методов решения рассматриваемой задачи их точности и возможности их реализации на том или ином компьютере.

Универсальные методы вычислений всегда не учитывают свойства каждой отдельной задачи и, поэтому имеют невысокую точность и медленную сходимость к точным значениям. Специализированные методы обладают, в этом смысле преимуществом перед универсальными методами и позволяют получать большую точность с меньшими затратами.

В методическом пособии изложены основные правила действий с приближёнными величинами, оценкой их точности; численные методы решения алгебраических уравнений и трансцендентных уравнений; приближённое представление функций (аппроксимация); численное дифференцирование и интегрирование и численные методы оптимизации. Все рассмотренные методы снабжены примерами. Численные методы применимы не во всех случаях и поэтому необходимо научиться правильно использовать в работе все математические методы.