5.2. Формула трапеций

Вычислим коэффициенты Котеса при .

Значения коэффициентов удовлетворяют условиям (7), следовательно, используя квадратурную формулу (6) получим следующую формулу для вычисления определенного интеграла

(8).

Формула (8) называется формулой трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла. Остаточный член (ошибка) квадратурной формулы (8) равен

(9).

Если , то (10)

Для вычисления интеграла можно разделить промежуток интегрирования на равных частей и к каждому из них применить формулу трапеций (8). Полагая, получим

. (16)

Геометрический смысл формулы (16) состоит в том, что график подынтегральной функции заменяется ломаной линией.

Ошибка общей формулы трапеций (16) составляет

(17)

Пример.

Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

Для достижения требуемой точности необходимо определить количество точек разбиения n, удовлетворяющее условию

, где - пределы интегрирования, , где .

Находим производные

Оценим максимальное значение второй производной на отрезке интегрировании, для этого в числитель подставим верхний предел, в знаменатель – нижний:

Пусть , тогда Возьмем . Результат вычислений приведен в таблице.


0	0,6000	0,3600	4,8200	2,1954	0,4555
1	0,6250	0,3906	5,1875	2,2776	0,4391
2	0,6500	0,4225	5,5700	2,3601	0,4237
3	0,6750	0,4556	5,9675	2,4428	0,4094
4	0,7000	0,4900	6,3800	2,5259	0,3959
5	0,7250	0,5256	6,8075	2,6091	0,3833
6	0,7500	0,5625	7,2500	2,6926	0,3714
7	0,7750	0,6006	7,7075	2,7762	0,3602
8	0,8000	0,6400	8,1800	2,8601	0,3496
9	0,8250	0,6806	8,6675	2,9441	0,3397
10	0,8500	0,7225	9,1700	3,0282	0,3302
11	0,8750	0,7656	9,6875	3,1125	0,3213
12	0,9000	0,8100	10,2200	3,1969	0,3128
13	0,9250	0,8556	10,7675	3,2814	0,3047
14	0,9500	0,9025	11,3300	3,3660	0,2971
15	0,9750	0,9506	11,9075	3,4507	0,2898
16	1,0000	1,0000	12,5000	3,5355	0,2828
17	1,0250	1,0506	13,1075	3,6204	0,2762
18	1,0500	1,1025	13,7300	3,7054	0,2699
19	1,0750	1,1556	14,3675	3,7904	0,2638
20	1,1000	1,2100	15,0200	3,8756	0,2580
21	1,1250	1,2656	15,6875	3,9607	0,2525
22	1,1500	1,3225	16,3700	4,0460	0,2472
23	1,1750	1,3806	17,0675	4,1313	0,2421
24	1,2000	1,4400	17,7800	4,2166	0,2372
25	1,2250	1,5006	18,5075	4,3020	0,2324
26	1,2500	1,5625	19,2500	4,3875	0,2279
27	1,2750	1,6256	20,0075	4,4730	0,2236
28	1,3000	1,6900	20,7800	4,5585	0,2194
29	1,3250	1,7556	21,5675	4,6441	0,2153
30	1,3500	1,8225	22,3700	4,7297	0,2114
31	1,3750	1,8906	23,1875	4,8153	0,2077
32	1,4000	1,9600	24,0200	4,9010	0,2040