3.10. Эмпирические формулы и метод наименьших квадратов

Приближённое представление функций с помощью интерполяционных многочленов и сплайнов имеет смысл при условии, что значение приближаемой функции известны достаточно точно (т.е. при малых ). В противном случае, неустранимая погрешность настолько велика, что бессмысленно добиваться высокой теоретической точности метода. Использование интерполяционных многочленов и сплайнов при значительном числе узлов приводит к громоздким выражениям.

В тех случаях, когда значения функции определены с невысокой точностью и необходимо составить приближенное аналитическое выражение, прибегают к эмпирическим формулам: несложным формулам определенного типа. Задача состоит в выборе вида формулы, хорошо отражающей имеющиеся данные и определении её параметров.

Функция задана таблично:

			…
			…

Требуется найти функциональную зависимость в виде: (1)

где неизвестные параметры.

Используются, например, формулы вида: и т.п.,

Параметры формул естественно стремятся определить так, чтобы отклонения были по возможности меньшими.

Требовать обращение в нуль всех нельзя, так как это приведёт к системе, содержащей гораздо больше уравнений, чем неизвестных(n уравнений при к неизвестных, где k<n). В соответствии с общей схемой вводится некоторая числовая мера близости значений к табличным значениям.

Например, можно ввести меры:

;

Каждая из введённых мер является функцией параметров

:

Малость каждой из них эквивалентна малости величины .

Параметры определяются из условий минимума соответствующей мера. Наиболее употребительной является мера

(2)

Метод, определяющий параметры эмпирической формулы из условия минимума величины , называется методом наименьших квадратов.

Из необходимых условий минимума функции нескольких переменных следует, что в точке минимума градиент функции равен нулю.

(3)

т.е.в точке минимума равны нулю все её частные производные первого порядка:

(4)

Для следующих эмпирических формул:

a)

b)

c)

Система уравнений (4) имеет единственное решение и при этом функция принимает наименьшее значение: для любых

В других случаях нужно дополнительное исследование решений системы (4).

В качестве примера рассмотрим случай приближения с помощью линейной функции .

. Необходимые условия минимума приводят к системе двух уравнений:

, = (5)

После преобразований, получим:

,

Так как , то приходим к системе

, (6)

Определитель этой системы

можно представить в виде .

всегда за исключением лишь случая, когда все принимают одно и тоже значение. Система(6) всегда имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

; (7)

Функция при , поэтому принимает наименьшее значение в точке с конечными координатами, причём точка обязательно является точкой минимума функции . Функция имеет единственный экстремум , в которой функция принимает наименьшее значение.

Замечание. Соотношение (5) показывает, что для решения системы должно быть выполнено соотношение:

которое можно использовать для контроля вычислений.

Заметим, что для определения коэффициентов аппроксимирующей функции в виде многочлена получается система:

Пример 14.

Требуется определить зависимость скорости течения V от относительной глубины D по результатам десяти наблюдений приведённых в таблице.

									-
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	(9)	(10)
0	0,957	0,012	-0,005	-9	-8,613	81	77,517	0,957	0
0,1	0,969	7	-5	-7	-6,783	49	47,481	0,969	0
0,2	0,976	2	-5	-5	-4,880	25	24,400	0,976	0
0,3	0,978	-3	-4	-3	-2,934	9	8,802	0,979	0,001
0,4	0,975	-7	-7	-1	-0,975	1	0,975	0,976	0,001
0,5	0,968	-14	-1	1	0,968	1	0,968	0,969	0,001
0,6	0,954	-15	-6	3	2,862	9	8,586	0,957	0,003
0,7	0,939	-21	-3	5	4,695	25	23,475	0,940	0,001
0,8	0,918	-24		7	6,426	49	44,982	0,919	0,001
0,9	0,894			9	8,046	81	72,414	0,892	-0,002
	9,528			0	-1,188	330	309,600

Для определения степени аппроксимирующего многочлена рассмотрим в столбцах (3),(4) разности. Вторые разности (4) практически постоянные, поэтому необходимо выбрать аппроксимирующий многочлен второй степени.

V=a₀+a₁D+a₂D²,

коэффициенты a_0, a₁, a_2, найдем из системы метода наименьших квадратов

10a₀+4,5a₁+2,85a₂=9,528,

4,5a₀ +2,85a₁+2,025a₂=4,228,

2,85 a₀ +2,025 a₁+ 1,533 a₂=2,65,

Решив систему уравнений получим: a₀=0,958, a₁=0,134, a₂=0,228.

Искомая зависимость имеет вид:

V=0,958+0,134D+0,228D²