3.4. Погрешность интерполяционной формулы Лагранжа

Погрешность, возникающая при замене значения функции значением интерполяционного многочлена , представима формулой:

.

Слагаемые метода и вычисляются теоретически, можно получить лишь в самом процессе счета, так как погрешность округления зависит от того, как ведутся вычисления.

А. Оценка погрешности метода (погрешности интерполирования).

Займёмся оценкой величины , считая, что многочлен построен по точным данным и что значения его вычисляются абсолютно точно.

Теорема. Если в промежутке, содержащем все узлы интерполяции, функция имеет (n+1)-ую ограниченную производную, то для любого значения из этого промежутка

.

То есть

, (4)

где М_n+1 -верхняя граница значений на рассматриваемом промежутке.

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательную функцию

,

где к -некоторое число. Функции f(t) и имеют производные до (n+1)-го порядка. Функция обращается в нуль во всех узлах интерполяции :

Для данного значения x≠x_i, отличного от всех узлов интерполяции, подберём число к, так чтобы . Для определения числа к получаем условие

Поскольку , то множитель при числе к отличен от нуля и получаем:

Вычислим теперь число к другим способом. С этой целью вспомним теорему Ролля: между каждыми двумя нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль её производной. Функция имеет (n+2) нуля . Следовательно, её производная имеет, по крайней мере (n+1) нуль. Применяя повторно теорему Ролля к производной , убеждаемся в том, что вторая производная имеет, по крайней мере, n нулей. Продолжая, получим, что (n+1) -ая производная имеет, по крайней мере, один нуль, т.е. найдётся точка ξ, в которой

Найдём производную :

Производная (n+1)-го порядка от многочлена n-ой степени равна нулю, то

Вычислим (n+1)-ую производную, входящую в последнее слагаемое:

.

Следовательно,

В точке ξ имеем: ,т.е.

Сравнивая два выражения для числа к, получаем

Таким образом, в наших условиях найдётся точка ξ, такая что

В полученной формуле число ξ неизвестно, поэтому она не может быть использована на практике. Получим формулу, которую можно использовать на практике. Значения ограничены числом , тем самым .

Следовательно, .

В. Оценка неустранимой погрешности.

При получении интерполяционного многочлена Лагранжа

Вместо точных значений функции использованы приближённые значения , т.е. вместо требуемого многочлена получен многочлен

Неточность исходных данных , приводит к неустранимой погрешности . Считая известной абсолютную погрешность значений : :

,

следовательно,

Абсолютная неустранимая погрешность равна

С. Полная погрешность формулы Лагранжа.

Объединяя полученные результаты, можно написать следующее выражение для полной погрешности формулы Лагранжа

, (4)

где - верхняя граница значений на рассматриваемом отрезке; - абсолютная погрешность вычисления значения функции ; -многочлены; - суммарная погрешность всех проведённых в ходе вычисления округлений.

Пример 10.

Для функции =sin(x) с узлами построен интерполяционный многочлен Лагранжа . Вычислить значение многочлена при и оценить полную погрешность, считая, что использованы пятизначные таблицы значений sin(x) (т.е. ). Вычислим значение :

.

Оценим погрешность интерполирования: и на отрезке от до имеем , т.е. .

В формуле для вычисления погрешности интерполирования значения и переведем в радианы, получим

.

Таким образом,

,

Следовательно, .