3.1. Интерполирование функции алгебраическими многочленами

Заданы различные точки (числа) x₀,x₁, x₂,…, x_n лежащие в области определения функции f(x), Точки x_i , i=0,1,…n, называются узлами интерполяции. Требуется построить многочлен L_n(x), степени не выше n, значения которого в узлах интерполяции совпадают со значениями функции f(x), то есть

L_n(x_i)=f(x_i) , i=0,1,…,n (1)

Многочлен L_n(x_i), удовлетворяющий условиям (1) , называется интерполяционным многочленом, простроенным для функции f(x) по заданным узлам.

Множеством F служит множество функций, определенных в узлах интерполяции; множеством H – множество многочленов, степени не выше n; мерой близости служит мера . Для интерполяционного многочлена : , поэтому L_n(x) наилучшее приближение по этой мере.

Если искомый многочлен L_n(x) представить в виде:

L_n(x)= a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+..+a₁x+a_0,

то из условий задачи следует система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов многочлена:

a_nx₀ⁿ+a_n-1x₀^n-1+..+a₁x₀+a₀=f(x₀)

a_nx₁ⁿ+a_n-1x₁^n-1+..+a₁x₁+a₀=f(x₁) (2)

…………..

a_nx_nⁿ+a_n-1x_n^n-1+..+a₁x_n+a₀=f(x_n)

Система (2) содержит (n+1) уравнений и (n+1) неизвестных a₀,a₁,…, a_n.

Разрешимость поставленной задачи сводится к разрешимости системы линейных уравнений (2). Система разрешима при любых правых частях, если ее определитель отличен от нуля.

Определитель системы является определителем Вандермонда, который не равен нулю, поэтому система уравнений имеет единственное решение.

Рассмотрим пример составления интерполяционного многочлена непосредственно из его определения.

Пример 8.

В узлах x₀=0, x₁=1,x₂=3 функция f(x) принимает значения y₀=-1 y₁=2, y₂=5 . Построить интерполяционный многочлен, отвечающий этим данным.

В нашем случае n=2. Следовательно, требуется построить интерполяционный многочлен L₂(x)=a₂x²+a₁x+a_0.

Условия задачи приводят к системе уравнений:

a₂0²+a₁0+a₀=-1

a₂1²+a₁1+ a₀ =2

a₂3²+a₁3+a₀=5

Ее решение: a₂ = -1/2, a₁ = 7/2, a₀ = -1.

Следовательно, L₂(x)= .

3.2. Единственность интерполяционного многочлена

Задача интерполирования имеет единственное решение. Для доказательства допустим, что имеются два многочлена L_n(x) и M_n(x), оба не выше n-ой степени, удовлетворяющие условию (1) задачи:

L_n(x_i)=f(x_i) , M_n(x_i)=f(x_i) , i=0,1,…,n.

Разность этих многочленов P_n(x)= L_n(x)- M_n(x) является многочленом степени не выше n и обращается в нуль во всех узлах интерполяции P_n(x_i)= L_n(x_i)- M_n(x_i)= f(x_i)- f(x_i)=0.

Следовательно, уравнение P_n(x)=0 имеет n+1 корень. Уравнение n-ой степени не может иметь больше, чем n вещественных корней, поэтому многочлен P_n(x) тождественно равен нулю, т.е. L_n(x)- M_n(x) ≡ 0 или L_n(x) ≡ M_n(x) .

Независимо от способа построения интерполяционного многочлена, в конечном результате всегда получается один и тот же многочлен, а представляющие его формулы могут быть различными.

3.3. Интерполяционная формула Лагранжа

Каждому узлу интерполяции , сопоставим многочлен

. (1)

Многочлен равен нулю в любом узле интерполяции , отличном от узла , так как в числителе имеется множитель , который обращается в нуль при .

В узле многочлен принимает значение равное единице, так как при числитель и знаменатель совпадают ,

Докажем, что интерполяционный многочлен можно представить формулой:

(2).

Правая часть равенства (2) является многочленом степени не выше n. В узлах интерполяции её значение равно:

,

при все числа , а при . Многочлен представленный формулой (2), удовлетворяет всем условиям задачи. Формула (2) называется интерполяционной формулой Лагранжа в развернутой форме:

(3)

или

L_n(x)= f(x_i)

где

,

.

Теорема. Задача интерполяции всегда имеет единственное решение, которое может быть представлено формулой (3).

Пример 9. Пользуясь формулой Лагранжа, составить интерполяционный многочлен по условиям примера 7. В этом случае

Формула (3) даёт:

.