2.9. Метод итераций для нелинейных систем уравнений

Дана система нелинейных уравнений:

(1)

функции действительны, определены и непрерывны в некоторой окрестности изолированного решения данной системы.

Пусть , , тогда (1) можно записать в виде:

(2)

Для нахождения вектора решения удобно использовать метод итерации

, (3)

где начальное приближение . Если процесс итерации (3) сходится, то является корнем уравнения (2).

Если, кроме того, все приближения принадлежат области W и - единственный корень системы (2), то .

Метод итерации может быть применён к общей системе f(X)=0 (3), где f(X) – вектор - функция, определенная и непрерывная в некоторой окрестности вектора решения . Запишем систему в виде: , - неособенная матрица. Пусть (4)

К (4) можно применить обычный метод итерации.

Пример 7.

Приближённо решить систему методом итерации.

(5)

Кривые пересекаются приблизительно в точках (1,4;-1,5) и (3,4;2,2)

Приведём к виду (4)

Если , то , , следовательно матрица неособенная и существует обратная матрица

, тогда

=

=

Глава 3. Приближенное представление функций (аппроксимация, интерполяция)

На практике часто приходится прибегать к замене функций их приближенными представлениями. Представим схематически некоторые ситуации, в которых возникает данная необходимость.

1. Входящая в задачу функция слишком сложна, и это делает невозможным решение задачи. В этом случае функция заменяется более простой, приближенной функцией, для которой задача упрощается. Полученный при этом результат и принимают за приближенное решение исходной задачи.

Например, для вычисления значений функции sinx можно приближенно заменить функцию отрезком её ряда Маклорена:

.

Если первообразная не выражается через элементарные функции, то подынтегральную функцию можно заменить на приближенную и вычислить интеграл.

2. Функция f(x) задана таблично для некоторых значений аргумента: f(x_i)=y_i , i=1,2,…, n , а для решения задачи требуется вычисление ее значений при значениях аргументов, отличных от имеющихся в таблице. При аналогичных условиях, требуется вычислить производную или интеграл от f(x), По таблице находится приближенное аналитическое выражение для функции, и вычисляются необходимые величины.

В общем виде задачу о приближенном значении функции можно описать так: имеется множество функций F и в нем выделено подмножество H более простых функций, которые используются для приближенного представления функций из F. Для каждой функции f F нужно выделить функцию h_f H, которая была бы для нее «достаточно хорошим» приближением.

Функция h_f должна быть найдена так, чтобы замена функции f на функцию h_f не привела к большой погрешности в окончательном результате вычислений. Для оценки приближения обычно вводится в множестве F числовая мера ρ=(f,g)≥0 близости двух функций: чем меньше это значение, тем в определенном смысле ближе функции f и g.

Например, если необходимо оценить близость значений функции в заданных точках x₀,x₁, x₂,…, x_n , то можно использовать меры:

,

Если необходимо оценить близость графиков функций на всем отрезке, то можно использовать меру:

Если нас интересует лишь близость значений интегралов от функций, то используется мера

или

Если введена мера близости ρ=(f,g), то возникает задача о наилучшем приближении: для данной функции f F найти функцию h_f H, для которой мера близости принимает наименьшее возможное значение:

Для приближенного представления функции :

a) принцип, по которому строится приближение наилучшее по данной мере;

b) алгоритм построения приближающей функции ;

c) способ оценки погрешности, возникающей при замене функции f приближением h_f .