Министерство
образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный
Инженерно-экономический университет»
Кафедра высшей математики
УТВЕРЖДАЮ
Проректор
по учебной работе
______________
«__»_________ г.
Рег. № ___________
Численные методы (Вычислительная математика) Санкт-Петербург
2012
УДК 519.3
ББК 22.18
М
Утверждено редакционно-издательским советом СПбГИЭУ
в качестве учебного пособия по дисциплине «Численные методы» и «Вычислительная математика» для следующих направлений и профилей подготовки:
Направление подготовки080100 Экономика
Профиль подготовки Математические методы в экономике
Направление подготовки 230700 Прикладная информатика
Профиль подготовки Прикладная информатика в экономике
Направление подготовки 230400 Информационные системы и технологии
Направление подготовки 090900 "Информационная безопасность
Квалификация бакалавр
Рецензенты:
кафедра высшей математики СПбГЛТУ (канд физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой В.Н.Куликов, канд. физ.мат. наук Н.И. Федоренко ),
доктор физ.-мат. наук, проф. зав. кафедрой прикладной математики и информатики СПбГАСУ Вагер Б.Г.
Галилеев М.М., Гончар Л.И., Грузина Т.Н. Численные методы: учеб. пособие.- СПб.: СПбГИЭУ, 2012.-
В пособие излагаются приближённые методы решения задач общего курса высшей математики, имеющих прикладное значение. Основная цель пособия - обеспечить самостоятельную работу студентов при ознакомлении с этими методами и выполнении расчётных заданий по курсу численные методы.
© СПбГИЭУ, 2012
Оглавление
Предисловие………………………. ……………………………4
Введение………………………………………………………….5
Глава 1. Элементарная теория погрешностей........................10
1.1. Приближенные числа и их погрешности……………………10
1.2. Правила
приближенных вычислений и оценка
погрешностей при вычислениях
…………………………………………………12
1.3. Неустранимая погрешность значения функции…………...17
1.4. Обеспечение заданной точности результата……………….22
Глава 2.Численные методы решения уравнений……………24
2.1. Итеративные методы решения нелинейных уравнений……24
2.2. Метод половинного деления…………………………………27
2.3. Метод хорд……………………………………………………29
2.4. Метод касательных (метод Ньютона)………………………31
2.5. Комбинированный метод хорд и касательных…………….32
2.6. Метод итераций………………………………………………33
2.7. Приближенное решение систем линейных уравнений методом итераций………………………………………………………40
2.8.Приближённое решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона……………………………………………………….41
2.9. Метод итераций для нелинейных систем уравнений………48
Глава 3. Приближенное представление функций.................50
3.1. Интерполирование алгебраическими многочленами………53
3.2. Единственность интерполяционного многочлена…………..55
3.3. Интерполяционная формула Лагранжа………………………55
3.4. Погрешность интерполяционной формулы Лагранжа….…57
3.5. Погрешность линейной интерполяции………………………62
3.6.Конечные разности и их свойства……………………………64
3.7.Интерполяционная формула Ньютона (для равностоящих узлов)…………………………………………………………………67
3.8. Погрешность формулы Ньютона……………………………70
3.9. Интерполяционные сплайны. Параболические интерполяционные сплайны ……………………………………………………72
3.10. Эмпирические формулы и метод наименьших квадратов. Определение параметров эмпирической формулы…………….77
Глава 4. Численное дифференцирование……………………..82
4.1. Дифференцирование на основе интерполяционной формулы Ньютона…………………………………..……………….………..83
4.2. Дифференцирование на основе формулы Стирлинга………85
4.3.Дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа……………………………………………………………87
Глава 5 Численное интегрирование функций……………….88
5.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса…………………...89
5.2. Формула трапеций……………………………………………91
5.3. Формула Симпсона (формула парабол)……………….……95
5.4. Формулы Ньютона – Котеса высших порядков……………98
Глава 6. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений…………………………………..…...100
6.1.Метод Эйлера………………..……………………….…….....100
6.2. Метод Рунге – Кутта……………………………………..…107
6.3. Метод Адамса…………………………………………….…108
Глава 7. Численные методы оптимизации……………….…112
7.1. Градиентные методы…………………………………………112
7.2. Метод Франка –Вулфа…………………………………….....115
7.3. Метод наискорейшего спуска………………………………120
7.4. Метод штрафных функций…………………………………..123
Литература……………………………………………………….125