Лабораторная работа № 10 Критерий омега-квадрат

Критерий омега-квадрат (ω², другое название – критерий Крамера-Мизеса-Смирнова) достаточно надёжен при n ≥ 15 для проверки гипотезы, подчиняется ли случайная величина некоторому закону распределения, если известны его параметры (простая гипотеза). Проверка может проводиться для любого вида распределения. Критерий основан на определении суммы квадратов разностей между накопленной частостью (эмпирической функцией распределения) и теоретической функцией распределения.

Результаты испытаний располагают в вариационном ряду. Статистику критерия можно рассчитать по формуле

(10.1)

Здесь F(x_i) – значения теоретической функции предполагаемого распределения; W=(2i-1)/2n – накопленная частость.

Расчётное значение сравнивают с табличным ω²_табл, значения которого приведены в табл. 10.1.

Таблица 10.1.

α	0,1	0,05	0,01
ω2табл	0,347	0,461	0,743

Если ω² ≤ ω²_табл, то нулевую гипотезу не бракуют, т.е. распределение считают соответствующим теоретическому с функцией распределения F(x) с известными параметрами при выбранном уровне значимости α.

Если параметры предполагаемого распределения заранее неизвестны, критерий, называемый в этом случае «критерий типа омега-квадрат», может использоваться только для некоторых видов распределений, с использованием вместо параметров их выборочных оценок. При этом определяется, принадлежит ли распределение случайной величины тому или иному семейству распределений, например, нормальных, экспоненциальных и др. (сложная гипотеза). Так, для нормального распределения результаты испытаний располагают в вариационном ряду. Статистику критерия для нормального распределения можно рассчитать по формуле

(10.2)

Здесь F(x_i) – значения функции нормального распределения (функция НОРМРАСП, в строке Интегральная диалогового окна ввести слово ИСТИНА) с параметрами М и σ, соответствующими их оценкам и s; W=(2i-1)/2n – накопленная частость.

Расчётное значение сравнивают с табличным ω²_табл. Значения ω²_табл зависят от вида распределения. Для нормального распределения они приведены в табл. 10.2.

Таблица 10.2.

α	0,1	0,05	0,01
ω2табл	0,104	0,126	0,179

Если ω²< ω²_табл, то нулевую гипотезу не бракуют, т.е. распределение считают соответствующим предполагаемому с выбранным уровнем значимости α.

Пример 10.1. При испытаниях образцов алюминиевого сплава получены значения относительного сужения: 0,320 0,327 0,390 0,409 0,285 0,292 0,305 0,308 0,252 0,420 0,340 0,430 0,261 0,310 0,360 0,298 0,299 0,313 0,315 0,290. Проверить гипотезу о нормальном распределении относительного сужения при различных уровнях значимости. Предусмотреть возможность расчёта для объёма испытаний до 1000.

Вариант выполнения примера 10.1 показан на рис. 10.1.

Рис.10.1. Вариант расчёта для примера 10.1.

Поскольку параметры предполагаемого нормального распределения неизвестны, значение критерия рассчитываем по формуле (10.2).

Пример 10.2. При статистической обработке результатов испытаний получена выборка значений непрерывной случайной величины Х: 0,18 0,11 -0,31 -0,69 -0,35 -0,46 -2,16 -0,33 0,58 1,54 1,32 1,67 -0,77 -0,55 -0,40 -1,48 -1,32 0,89. Проверить гипотезу о том, что Х подчиняется распределению Стьюдента, при различных уровнях значимости. Предусмотреть возможность расчёта для объёма испытаний до 1000.

Вариант выполнения примера 10.2 показан на рис. 10.2.

Рис.10.2. Вариант расчёта для примера 10.2.

Распределение Стьюдента имеет единственный параметр – число степеней свободы k. В данном случае k=n-1, т.е. параметр известен. Поэтому значение критерия рассчитываем по формуле (10.1).

Число степеней свободы возможно рассчитать, но лучше вводить его с клавиатуры, т.к. при решении некоторых других задач оно может рассчитываться по другим зависимостям. Значения функции распределения Стьюдента F(x) в Excel находятся по функции СТЬЮДРАСП. Однако при этом функция СТЬЮДРАСП непосредственно рассчитывается только от неотрицательных аргументов, и притом в виде значений, равных 1- F(x). Для отрицательных аргументов функция распределения Стьюдента может быть найдена по функции СТЬЮДРАСП от модуля аргумента. Поэтому для нахождения функции распределения Стьюдента сначала находим модуль каждого значения выборки (столбец модуль х, функция ABS). Затем находим значения функции СТЬЮДРАСП от модулей значений выборки (столбец F(мод), При этом Хвосты в диалоговом окне принимаем 1, т.е. одностороннее распределение. Наконец, находим значения функции распределения Стьюдента (столбец F), используя функцию ЕСЛИ: если элемент выборки (по существу, квантиль распределения Стьюдента) больше нуля, F = 1 - F(мод), иначе F = F(мод).

Пример 10.3. По результатам испытаний получена выборка значений непрерывной случайной величины Х: 2,4 2,6 2,6 2,8 2,9 2,9 2,9 3,6 4,6 4,9 5,0 5,0 5,1 5,1 5,2 5,3 5,4 5,7 5,8 5,8 6,0. Проверить при различных уровнях значимости гипотезу о том, что Х подчиняется равномерному распределению с параметрами a = 2, b = 6. Предусмотреть возможность расчёта для объёма испытаний до 1000.

Вид функции равномерного распределения показан на рис 10.3.

Рис.10.3. Вид функции равномерного распределения.

Равномерное распределение имеет параметры a и b.

При х<a F(x) = 0

При х>b F(x) = 1

При a<х<b F(x) = (x-a)/(b-a)

Поскольку параметры a и b известны, значение критерия ω² рассчитываем по формуле (10.1).

Вариант выполнения примера 10.3 показан на рис. 10.4.

Значения в столбце (F-W)² рассчитываем с использованием функции ЕСЛИ аналогично примеру 10.2.

Рис.10.4. Вариант расчёта для примера 10.3.

Задание.

1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 10.1.

2. Выполнить расчёты в соответствии с примером 10.2.

3. Выполнить расчёты в соответствии с примером 10.3.

4. Результаты расчётов привести в табл. 10.3.

Таблица 10.3

№	Проверяемое рспределение	Известны ли параметры (да/нет)	Соответствие предполагаемому распределению (+/-)
			α = 0,01			α = 0,05			α =0,1
			ω2	ω2 табл	+ -	ω2	ω2 табл	+ -	ω2	ω2 табл	+ -
1	Нормальное
2	Стьюдента
3	Равномерное