Лабораторная работа № 7 Критерий Шовене

Критерий Шовене применяется для отбрасывания грубых ошибок при нормальном распределении контролируемого параметра и объёме испытаний не более 20. По критерию Шовене отбрасывают только одно сомнительное значение.

При использовании этого критерия рассчитывают вероятность получения значения, отклоняющегося от среднего значения выборки больше, чем сомнительное значение x_c, при имеющемся объёме испытаний. Для этого сначала по сомнительному значению находят значение интегральной функции нормального распределения F(x) с параметрами, рассчитанными по выборке (функция НОРМРАСП). Далее, если сомнительно максимальное значение вариационного ряда, указанную вероятность Р_прев находят по формуле

Р_прев = (1 – F(x))∙2

Если сомнительно минимальное значение вариационного ряда, указанную вероятность находят по формуле

Р_прев = F(x)∙2

В этих формулах коэффициент 2 учитывает возможность отклонения от среднего в сторону как увеличения, так и уменьшения.

Умножая Р_прев на объём испытаний n, получают ожидаемое число результатов N, отклоняющегося от среднего значения выборки больше, чем сомнительное значение:

N = Р_прев∙n

Если N < 0,5, сомнительное значение считают грубой ошибкой.

Пример 7.1. Провести проверку на наличие грубых ошибок по данным примера 5.1, используя критерий Шовене.

Вариант выполнения примера 7.1 показан на рисунке 7.1.

Рис.7.1. Вариант расчёта для примера 7.1.

С помощью функции ЕСЛИ предусмотрен вывод сообщения, приемлем ли объём выборки. Чтобы это работало, n находят по диапазону В4:В24 или более (функция СЧЁТ).

Задание.

1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 7.1. Варьируя максимальное значение вариационного ряда, определить, какое значение граничило бы с грубой ошибкой.

Лабораторная работа № 8 Критерий Романовского

Критерий Романовского применяется при нормальном распределении случайной величины, если объём испытаний n не больше 20. При его использовании вычисляют, без учёта сомнительного значения х_с, среднее значение выборки (центр распределения) х_цр и среднеквадратическое отклонение s_цр, а затем расчётное значение критерия b_расч = |х_цр - x_с|/ s_цр, которое сравнивают с табличным значением b_табл.  Если b_расч ³ b_табл, то результат х_с считается промахом и отбрасывается. Значения b_табл можно найти из табл. 8.1, но при автоматизированной обработке лучше рассчитать их с приемлемой точностью по уравнениям, приведённым в табл. 8.2. При этом объём испытаний n_цр берётся без учёта х_с.

Таблица 8.1.

α	bтабл
	nцр = 4	nцр = 6	nцр = 8	nцр = 10	nцр = 12	nцр = 15	nцр = 20
0,01	1,73	2,16	2,43	2,62	22,75	2,90	3,08
0,05	1,71	2,10	2,27	2,41	2,52	2,64	2,78
0,10	1,69	2,00	2,17	2,29	2,39	2,49	2,62

Таблица 8.2.

Уровень значимости	bтабл
0,01	0,837∙ln(nцр) + 0,642
0,05	0,651∙ln(nцр) + 0,883
0,1	0,571∙ln(nцр) + 0,951

Пример 8.1. Провести проверку на наличие грубых ошибок по данным примера 5.1 при уровне значимости 0,1, используя критерий Романовского.

Возможный вариант выполнения примера 8.1 показан на рисунке 8.1.

Поскольку грубой ошибкой может быть одно из крайних значений вариационного ряда, рассчитываем значения х_цр, s_цр и n_цр для диапазона В4:В22, а в ячейке В3 будет находиться сомнительное значение, минимальное либо максимальное в выборке, в зависимости от того, расположены значения выборки по возрастанию ил по убыванию. Так, на рис. 8.1 значения расположены по возрастанию, и поэтому проверяется минимальное значение. Чтобы проверить максимальное значение, следует расположить значения по убыванию, например, с использованием кнопки . Табличное значение критерия Романовского находим по одному из уравнений, представленных в табл. 8.2, в зависимости от уровня значимости с использованием функции ЕСЛИ, так, как это сделано в примере 5.1 или примере 3.4.

Рис.8.1. Вариант расчёта для примера 8.1.

Задание.

1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 8.1. Варьируя максимальное значение вариационного ряда, определить, какое значение граничило бы с грубой ошибкой.

Таблица 8.3.

Критерий	Уровень значимости	Граница грубой ошибки
		Минимальная	Максимальная
Смирнова	0,1
	0,05
Диксона	0,1
	0,05
Шовене	-
Романовского	0,1
	0,05

2. Варьируя максимальное и минимальное значения вариационного ряда данных из примера 5.1, определить, какие значения граничили бы с грубой ошибкой при использовании критериев Смирнова, Диксона, Шовене, Романовского. Результаты занести в табл. 8.3.

ОЦЕНКА ВИДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Лабораторная работа № 9

Критерий Шапиро-Уилка

Предложено много критериев и способов оценки вида распределения непрерывной случайной величины. Критерий Шапиро-Уилка используется для проверки гипотезы о нормальном распределении. Этот критерий надёжен при 8<=n<=50 (существует модифицированный критерий Шапиро-Уилка, применимый при n до 2000), и является более мощным, чем другие, критерии, т.е. даёт наименьшую вероятность принять нулевую гипотезу, когда на самом деле верна альтернативная, в данном случае – принять гипотезу о нормальном распределении, когда распределение не соответствует нормальному.

При использовании критерия результаты испытаний располагают в вариационный ряд и рассчитывают значения

(9.1)

i – номер элемента в вариационном ряду.

При этом, если n чётное, k=n/2, если n нечётное, k=(n-1)/2.

Значения a_n-i+1 находят из таблиц. Однако с приемлемой точностью значения а можно найти по зависимостям из табл. 9.1.

∙Таблица 9.1.

i	an-i+1
1	(0,0081356n4 - 1,3596n3 + 87,592n2 - 2808,2n + 78028)/100000
2	(0,0005642n5 - 0,096475n4 + 6,418n3 - 204,59n2 + 2849,1n + 19225)/100000
3	(-0,000053n6 +0,010464n5 - 0,83717n4 + 35,172n3 - 823,97n2 + 10190n - 26059)/100000
4	(-0,00008785n6 + 0,017143n5 - 1,3644n4 + 56,8921n3 - 1321,67n2 + 16417,8n - 64907)/100000
5	(-0,0000637n6 + 0,012953n5 - 1,08323n4 + 47,9523n3 - 1197,88n2 + 16280,8n - 77227)/100000
6	(0,001213n5 - 0,22039n4 + 15,932n3 - 578,01n2 + 10675,3n - 64930)/100000
7	(0,001058n5 - 0,19846n4 + 14,8811n3 - 563,328n2 + 10954n - 74246)/100000
8	(0,0009663n5 - 0,18425n4 + 14,2448n3 - 558,464n2 + 11321,7n - 83480)/100000
9	(0,000936n5 - 0,18321n4 + 14,431n3 - 578,383n2 + 12047,5n - 94506)/100000
10	(-0,021445n4 + 3,5688n3 - 227,115n2 + 6687n - 66534)/100000
11	(-0,01937n4 + 3,3178n3 - 218,207n2 + 6675n - 70767)/100000
12	(-0,01757n4 + 3,0973n3 - 210,36n2 + 6671,5n - 74844)/100000
13	(-0,01577n4 + 2,8668n3 - 201,302n2 + 6621,8n - 78311)/100000
14	(0,4448n3 - 64,902n2 + 3325n - 51098)/100000
15	(0,4227n3 - 63,247n2 + 3332,2n - 53673)/100000
16	(0,4046n3 - 61,999n2 + 3353,2n - 56378)/100000
17	(0,3853n3 - 60,444n2 + 3354,8n - 58703)/100000
18	(0,3532n3 - 57,207n2 + 3282,5n - 59931)/100000
19	(-11,224n2 + 1322,1n - 33480)/100000
20	(-11,072n2 + 1331,1n - 35023)/100000
21	(-10,898n2 + 1337,8n - 36508)/100000
22	(-10,833n2 + 1354,4n - 38200)/100000
23	(-10,714n2 + 1365,6n - 39754)/100000
24	(335n - 15708)/100000
25	0,0035

Статистику критерия рассчитывают по формуле

W =b²/nm₂

Рассчитанное значение W сравнивают с табличным W_табл. Табличные значения критерия W_табл в зависимости от уровня значимости α находят из таблиц, однако с приемлемой точностью их можно найти по зависимостям, показанным в табл. 9.2.

Таблица 9.2.

α	Wтабл
0,01	(-0,0148n4 + 2,1875n3 - 122,61n2 + 3257,3n + 55585)/100000
0,05	(-0,0113n4 + 1,656n3 - 91,88n2 + 2408,6n + 67608)/100000
0,1	(-0,0084n4 + 1,2513n3 - 70,724n2 + 1890n + 73840)/100000

Если W ≥ W_табл, нулевую гипотезу не бракуют, т.е. распределение считают нормальным.

Пример 9.1. По данным примера 1.1 проверить при различных уровнях значимости гипотезу о нормальности распределения предела прочности на разрыв алюминиевого сплава.

Вариант выполнения примера 9.1 показан на рисунке 9.1.

Рис.9.1. Вариант расчёта для примера 9.1.

Вводим в электронную таблицу уровень значимости и результаты испытаний, упорядочиваем их в вариационном ряду, рассчитываем среднее значение, сумму квадратов отклонений от среднего nm₂, объём испытаний (какие при этом целесообразно задать в статистических функциях диапазоны?), а также величину k. Очевидно, что для любого (чётного и нечётного) n можно рассчитать k по формуле k=n/2 с округлением результата вниз до целого (функция ОКРУГЛВНИЗ).

Далее находим b. Для этого вначале рассчитываем значения n-i+1. Поскольку при этом, в соответствии с формулой (9.1), i ≤ k, при расчёте используем функцию ЕСЛИ, в которой логическим выражением будет i ≤ k. При его истинности принимается значение n-i+1, при ложности - 0. (Не забывайте установить в необходимых случаях абсолютную адресацию). Затем находим значения x_n-i+1. Поскольку n-i+1 k, при расчёте используем функцию ЕСЛИ, в которой логическим выражением будет n-i+1≥ k (т.е. ссылка на ячейку столбца G). При истинности этого выражения значение x_n-i+1 находим при помощи функции ИНДЕКС, при ложности значение не задаём. Затем находим x_i используя функцию ЕСЛИ, и далее - разности х_n-i+1-x_i. Рассчитываем значения a_n-i+1 по формулам табл. 7.1. Находим произведения a_n-i+1( х_n-i+1-x_i), и по их сумме – величину b, а затем b² и W.

Рассчитываем табличные значения критерия для различных уровней значимости по формулам табл. 7.2. Из этих значений выбираем необходимое W_табл в соответствии с заданным уровнем значимости, используя трижды функции ЕСЛИ.

Затем, если n < 8, с помощью функции ЕСЛИ выводим сообщение «ВЫБОРКА СЛИШКОМ МАЛА». При ложности этого логического выражения используем в строке Значение_если_ложь функцию ЕСЛИ для сравнивания W и W_табл, и в зависимости от истинности или ложности логического выражения выводим сообщение, является ли распределение нормальным. В результате в одной ячейке (в примере – ячейка D18) должно выводиться одно из трёх сообщений, например: ВЫБОРКА СЛИШКОМ МАЛА; РАСПРЕД. НОРМАЛЬНОЕ; РАСПРЕД. НЕ НОРМАЛЬНОЕ.

При правильном выполнении электронная таблица должна верно пересчитываться при вводе других данных в пределах применимости критерия Шапиро-Уилка.

Задание.

1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 9.1.

2. Выборочные значения случайных величин, полученные по результатам испытаний, показаны в табл. 9.3.

Таблица 9.3.

№ выборки	Р	Значения в выборке
1	0,9	855  875 834  872  863  855  888  864  870 881  891 872
2	0,95	11 12 9 16 12 8 9 10 10 9 11 10 8 8
3	0,99	34 36 38 33 34 32 30 36 38 31

Виды распределений случайных величин неизвестны. Используя созданные электронные таблицы, исключить грубые ошибки (по какому критерию?), определить, какие из случайных величин могут быть описаны нормальным распределением, в случае нормального распределения рассчитать интервальные оценки параметров этих распределений. Результаты занести в таблицу 9.4.

Таблица 9.4.

№ выборки	Грубые ошибки	Распределение (норм/не норм)	Оценка М		Оценка σ
			точечная	Интерв.	точечная	Интерв.
1
2
3