Лабораторная работа № 19 Последовательный план испытаний

В последовательном плане количество испытываемых изделий или время испытаний заранее не задаётся, а зависит от исхода наблюдений.  Изделие или несколько изделий (в соответствии с программой испытаний) подвергают испытаниям. Затем по полученным результатам принимают одно из трёх решений: о приёмке партии, об отбраковке партии или о продолжении испытаний. В случае продолжения испытаний последовательно суммируют число наблюдений n и число отказов r. По результатам суммирования наблюдений и отказов строят график (рис. 19.1)

Рис.19.1. График последовательного плана испытантий

На рисунке 19.1 линии 1 и 2 - границы браковки, 3 и 4 - границы приемки, 5 - линия реализации процесса отказов, n - суммарное число наблюдений (испытанных изделий) на данный момент испытаний, r - суммарное число отказов на данный момент испытаний, c - предельное (браковочное) суммарное число отказов, N - максимально возможное (допустимое) число наблюдений до принятия решения о приемке или браковке. Значения с и N могут быть найдены методом однократной выборки (см. пример 18.2, где они соответственно обозначены С и n).

Например, по данному графику, на первом этапе испытывалось n₁ изделий, и было r₁ отказов, на первом и втором этапе суммарно испытывалось n₂ изделий и было r₂ отказов, и т.д. Если на некотором этапе испытаний линия 5 пересечёт линии 1 или 2, партия бракуется. Если линия 5 пересечёт линии 3 или 4, партия считается годной.

Линия несоответствия (браковки) 1 рассчитывается по уравнению r = an+r₀.

Линия соответствия (приемки) 4 рассчитывается по уравнению r = a(n-n₀).

При этом

Здесь D = (1 - P_β)(1-P_α)

При использовании в качестве линий приёмки и браковки только линий 1 и 4 получается неусеченный последовательный план, при использовании также линий 2 и 3 - усечённый последовательный план.

Последовательный план может быть реализован также аналитически, т.е. без построения графика. При этом на некотором этапе испытаний партию считают бракованной при выполнении одного из условий:

r > an+r₀ (19.1)

r > с (19.2)

Партию считают годной при выполнении одного из условий:

r < a(n-n₀) (19.3)

n > N (19.4)

При невыполнении ни одного этих условий испытания продолжают.

Преимущество последовательного плана по сравнению с одноступенчатым (однократной выборкой) - минимизация среднего числа наблюдений. Экономия испытываемых изделий может достигать 40% и более по сравнению с одноступенчатым планом. Однако последовательный план неустойчив к возможной приработке изделий в начале испытаний, в результате чего результате возрастает риск поставщика.

Пример 19.1. Проводятся испытания партии изделий по последовательному плану. На каждом этапе на испытания ставится n_i = 5 изделий. Заданы Р_α = 0,95, α = 0,1, Р_β = 0,9, β = 0,1. Количество отказавших изделий последовательно по этапам r_i составило: 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1. На каком этапе следовало закончить испытания, и с каким результатом? Найти решение аналитически и графически.

Фрагмент выполнения примера 19.2 показан на рис. 19.2.

Рис.19.2. Вариант расчёта для примера 19.2.

Вводим исходные данные, рассчитываем D, a, r₀, n₀. Затем в электронной таблице, созданной в примере 18.2, рассчитываем с и N (в примере 18.2 С и n) и вводим их значения в электронную таблицу. (следует отметить, что в ГОСТ Р 27.403-2009 «Планы испытаний для контроля вероятности безотказной работы» приводятся более высокие значения с и N). Вводим значения номеров этапов испытаний в столбце i (с учётом возможности пересчёта по другим данным примерно до 1000). Находим последовательную сумму испытаний по формуле n = i∙n_i. Вводим значения r_i. Далее рассчитываем столбец r. Для этого в первой ячейке G4 делаем ссылку на ячейку F4. Во второй ячейке столбца (что соответствует второму этапу испытаний) суммируем значение в предыдущей ячейке G4 и число отказов на данном этапе. Полученную формулу из этой ячейки копируем в остальные ячейки столбца r.

Далее заполняем столбцы БРАК? и ГОДНАЯ?. В столбце БРАК? используем функцию ЕСЛИ. В диалоговом окне этой функции вводим логическое выражение (19.1), и, заключив его в скобки, добавляем функцию ИЛИ. В открывшемся диалоговом окне этой функции вводим логическое выражение (19.2). Затем устанавливаем курсор в строке формул на слово ЕСЛИ. В открывшемся диалоговом покне функции ЕСЛИ при истинности логических выражений (19.1) или (19.2) выводим сообщение «Брак» (т.е. партия бракуется). При ложности этих выражений выводим сообщение «Дальше» (т.е. испытания следует продолжить). В столбце ГОДНАЯ? также используем функцию ЕСЛИ, аналогично тому, как это сделано для столбца БРАК?, с использованием логических выражений (10.3) и (19.4). При истинности (19.3) или (19.4) выводим сообщение «Годная» (т.е. партия признаётся годной). При ложности этих выражений выводим сообщение «Дальше» (т.е. испытания следует продолжить).

Если в строке электронной таблицы с меньшим номером появится сообщение «Брак», партия бракуется. Если же в строке электронной таблицы с меньшим номером появится сообщение «Годная», партия признаётся годной.

Для графического решения вводим в электронную таблицу столбцы Линия 1 и Линия 4. В верхних ячейках столбцов Линия 1 и Линия 4 рассчитываем соответствующие значения и опируем полученные формулы до конца столбцов (не забыть проставить абсолютную адресацию). Затем строим диаграмму Точечная диаграмма, на которой значения соединены отрезками. В диаграмму включаем значения в столбцах n, r, Линия 1 и Линия 4. Максимальные значения шкал n и r с помощью контекстного меню ограничиваем значениями соответственно N и с, что ограничит рамки графика линиями 2 и 3.

Полученный график показан на рис. 19.3.

Рис.19.3. Графическое решение примера для примера 19.2.

Как видно из графика, линия 5 пересекает линию 1, поэтому партию следует считать бракованной. Наведя указатель мыши на точку пересечения линии 1 линией 5, можно по всплывающей подсказке определить, при каком n следует завершить испытания.

Задание.

1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 19.1.

2. Проводятся испытания партии изделий по последовательному плану. Заданы Р_α = 0,97, α = 0,1, Р_β = 0,92, β = 0,1. Количество испытываемых на каждом этапе изделий n_i и количество отказавших изделий последовательно по этапам r_i показано в таблице 19.1. Определить аналитически, на каком этапе следовало закончить испытания, и с каким результатом? Занести результаты в табл. 19.1.

Таблица 19.1.

Вариант	ni	ri	Последний этап	Партия (годная/брак)
1	10	1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1
2	7	2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
3	15	1 1 1 2 0 1 0 2 0 1 0 2
4	10	0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1
5	20	1 1 0 1 0 2 0 0 1 1
6	5	1 0 2 0 1 0 2 0 0 1 2 1 0 1 0
7	8	0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
8	7	2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
9	6	1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 2
10	15	0 0 1 0 2 1 0 0 0 0 1 2