Лабораторная работа № 18 Планирование испытаний методом однократной выборки

При планировании контрольных испытаний на надёжность методом однократной выборки определяют одноступенчатый план контроля, в который входят время испытаний t_и, объем выборки n и приемочное число C. Приёмочное число – это максимально возможное число отказавших за время испытания изделий, при котором партия изделий считается годной.

При планировании учитывают либо интересы поставщика и заказчика - планирование по приемочному и браковочному уровням, либо интересы только заказчика - планирование по браковочному уровню.

При планировании по приемочному и браковочному уровням задают:

1. Приемлемое значение вероятности безотказной работы случайно выбранного из партии изделия P_α.

2. Соответствующий ему риск поставщика α - вероятность того, что годная партия будет забракована.

3. Минимальное значение вероятности безотказной работы P_β, т.е. браковочное (гарантированное) значение вероятности безотказной работы (всегда P_α. > P_β).

4. Соответствующий ему риск заказчика β - вероятность того, что бракованная партия будет признана годной.

При планировании по браковочному уровню задают P_β и β. Планирование по браковочному уровню используют внутри предприятий-поставщиков, чтобы убедиться в соответствии надёжности требованиям заказчика.

В методе однократной выборки из партии берется одна выборка. Если в ней число отказавших изделий d ≤ C, партия принимается, иначе бракуется. При этом, если не известен закон распределения показателя надежности, время испытаний t_и берут равным гарантированному времени t_r, на которое задана минимальная вероятность безотказной работы P_β.

Значения n и C находят следующим образом.

Вероятность P(Q) принять партию в зависимости от доли дефектных изделий в партии Q при определённых значениях С, N (объём партии) и n описывается гипергеометрическим распределением. При n ≤ 0,1N, что обычно и имеет место на практике, вместо гипергеометрического распределения с хорошим приближением можно использовать биномиальное, расчёты по которому в Excel проще.

При планировании по браковочному уровню для заданной P_β подбирают такие значения n и C, чтобы P(Q), рассчитанная по биномиальному распределению, равнялась (была наиболее близка) риску поставщика β:

P(Q) = β (18.1)

Для конкретных заданных условий существует множество пар n и C, достаточно хорошо удовлетворяющих уравнению (18.1). Но С выбирают небольшим, поскольку при его увеличении резко возрастает объем выборки n. Однако обычно не принимают С = 0, поскольку это значение наиболее неблагоприятно для изготовителя.

При планировании по приемочному и браковочному уровням используют уравнение (18.1) и уравнение

P(Q) = 1-α (18.2)

Подбирают n и C, чтобы одновременно выполнялись (18.1) и (18.2). При этом для конкретных заданных условий существует пара минимально возможных значений n и C, наиболее хорошо удовлетворяющих (18.1) и (18.2).

Пример 18.1. На предприятии необходимо провести испытания партии производимых изделий, чтобы убедиться в соответствии надёжности изделий требованиям заказчика, которые составляют: минимальная вероятность безотказной работы 0,92 на 300 ч при риске поставщика 0,1.Найти план контроля надежности.

Возможный вариант выполнения примера 18.1 показан на рис. 18.1.

Вводим исходные данные P_β и β, приёмочное число – например, 2 (потом при необходимости можно будет изменить это значение), а также столбец возможных значений объёма испытаний n (целесообразно хотя бы до 1000).

Рис.18.1. Вариант расчёта для примера 18.1.

Теперь необходимо найти то из значений n, при котором выполняется условие (18.1). Для этого рассчитываем значения вероятности приёмки партии P(Q) в зависимости от объёма испытаний, используя функцию БИНОМРАСП. Диалоговое окно, открывающееся при выборе функции БИНОМРАСП, имеет четыре строки для ввода данных:

Число_успехов. Судя по подсказке к этой строке, надо ввести количество успешных испытаний. Под количеством успешных испытаний в данном случае понимается количество элементов выборки, имеющих определённый признак. В нашем случае это максимально возможное количество дефектных изделий в выборке, при котором партия принимается, т.е. следует сделать ссылку на ячейку со значением приёмочного числа.

Число испытаний. Следует сделать ссылку на ячейку с величиной объёма испытаний (объёма выборки).

Вероятность_успеха. В нашем случае это вероятность того, что случайно выбранное из партии изделие будет бракованным, т.е. вероятность отказа, равная 1 - P_β.

Интегральная. Поскольку партия принимается при любом количестве дефектных изделий в выборке от 0 до С, то функция биномиального распределения должна быть интегральной, следовательно, вводится значение истина.

В тех случаях, когда n < C, расчёты по функции БИНОМРАСП дадут ошибку (получается значение #ЧИСЛО!). В то же время, очевидно, что в этих строках P(Q)=1.

Нужное значение n будет в той строке электронной таблицы, где P(Q) = β, точнее, где абсолютное значение P(Q)-β минимально, поэтому рассчитываем соответствующие значения. Но, поскольку при n < C расчёты P(Q) дают ошибку, используем функцию ЕСЛИ. При истинности логического условия n < С задаём значение 1 - β . При ложности логического условия находим модуль (функция ABS) P(Q) - β.

Получив столбец значений |P(Q)-β|, можно уже визуально найти в нём минимальное значение и соответствующий ему объём испытаний. Но для автоматизации расчётов следует найти нужный номер строки с использованием формулы массива, как это сделано в лабораторной работе № 2. Напоминание: чтобы введённая формула была формулой массива, нажимаем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (формула CSE), после чего формула будет заключена в фигурные скобки. При этом ввод фигурных скобок с клавиатуры не даст нужного результата. Кроме того, при каждом переводе курсора в строку формулы массива необходимо заново нажимать CTRL+SHIFT+ENTER, иначе формула уже не будет восприниматься как формула массива.

По номеру строки рассчитываем объем испытаний. Так, по рисунку 18.1, от найденного номера строки отнимаем 3, поскольку значения в столбцах начинаются только с четвёртой строки.

При приемочном числе 2 получаем необходимый объём испытаний 65. Таким образом, план контроля надёжности: n = 65, C = 2, t_и = 300 ч.

Но можно задать любое другое приёмочное число и получить соответствующий ему объём испытаний.

Пример 18.2. Найти план контроля надёжности партии изделий по приемочному и браковочному уровням, если задано: Р_α = 0,96, α = 0,1, Р_β = 0,92, β = 0,1 на 300 ч испытаний.

Возможный вариант выполнения примера 18.2 показан на рис. 18.2.

Рис.18.2. Вариант расчёта для примера 18.2.

Вводим исходные данные P_α, α, P_β и β, любое приёмочное число – например, 2 (потом это значение), а также столбец возможных значений объёма испытаний n (целесообразно хотя бы до 4000). Рассчитываем столбцы значений P(Q)_α, |P(Q)_α-1+α|, P(Q)_β,, |P(Q)_β-β|. Значения P(Q)_α и P(Q)_β рассчитываем с помощью функции БИНОМРАСП, при этом в диалоговом окне функции, в строке Вероятность_успеха, вводим 1 - P_α или 1 – P_β, в зависимости от столбца. Далее при помощи формул массива, в соответствии с (16.1) И (16.2), находим номера строк, в которых соответственно абсолютные значения P(Q)_α-1+α и P(Q)_β-β минимальны (наиболее близки к нулю). По этим номерам строк находим объёмы выборок n_α и n_β, обеспечивающих заданные α и β, а также модуль разности между ними. Затем подбираем такое значение приёмочного числа (минимальное из возможных), чтобы этот модуль разности был минимален (чаще всего от 0 до 4). В план контроля надёжности (план испытаний) войдут подобранное значение приёмочного числа и одно из найденных значений n_α и n_β или одно из промежуточных между ними значений. Можно принять в качестве объёма испытаний n среднее между n_α и n_β . При этом реальные риски поставщика и потребителя будут несколько отличаться от заданных.

В нашем примере получим план контроля надёжности: n = 218, C = 12, t_и = 300 ч.

Задание.

1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 18.1 при различных значениях приёмочного числа, минимальной вероятности безотказной работы и риска потребителя, указанных в табл. 18.1. Результаты занести в таблицу 18.1 на отдельном листе электронной книги. Сделать выводы о том, как влияют на объём испытаний увеличение приёмочного числа, минимальной вероятности безотказной работы и риска потребителя.

Таблица 18.1.

Приёмочное число	Pβ	Объём испытаний
		β= 0,05	β = 0,1	β = 0,2
0	0,92
	0,94
1	0,92
	0,94
2	0,92
	0,94
3	0,92
	0,94

2. Выполнить расчёты в соответствии с примером 18.2 при различных значениях приемлемой вероятности безотказной работы, минимальной вероятности безотказной работы, риска изготовителя и риска потребителя, указанных в табл. 18.2. Результаты занести в таблицу 18.2 на отдельном листе электронной книги. Сделать выводы о том, как влияют на объём испытаний и приёмочное число увеличение приемлемой вероятности безотказной работы, минимальной вероятности безотказной работы, риска изготовителя и риска потребителя

Таблица 18.2.

Pα	Pβ	α = β =0,05		α = β =0,1		α = β =0,2
		n	C	n	C	n	C
0,94	0,90
	0,91
0,95	0,90
	0,91