Лабораторная работа № 13 Оценка вида распределения графическим способом

Использование критериев согласия для оценки вида функции распределения непрерывной случайной величины в ряде случаев не вполне удобно, т.к. требует значительных вычислений, а в некоторых случаях большого объёма испытаний. Поэтому проверку гипотезы о виде функции распределения иногда проводят приближёнными методами – графическим способом или по асимметрии и эксцессу.

В графическом способе результаты испытаний располагают в вариационном ряду. Затем для каждого результата x_i рассчитывают накопленную частость:

(13.1)

Здесь i – номер результата в вариационном ряду, n – объём испытаний. По значениям накопленных частостей как значений функции распределения, находят соответствующие значения квантиля ожидаемого распределения. Например, если предполагается нормальное распределение результатов испытаний, находят квантили стандартного нормального распределения z(W)_i. Далее строят график в координатах x – z. Если значения x_i являются квантилями распределения того же вида, что и z(W)_i, между ними должна быть линейная зависимость. Тогда, если точки на графике укладываются вдоль прямой линии лишь с небольшими отклонениями, то результаты испытаний достаточно хорошо описываются выбранным теоретическим распределением. При больших отклонениях хотя бы некоторых точек от прямой распределение результатов испытаний нельзя считать соответствующим выбранному теоретическому.

Пример 13.1. Результаты испытаний представлены в ряду: 9,2 12,2 10,5 9,4 8,9 7,4 10,1 11,7 11,4 11,0 10,2 8,0 7,3 7,0 9,6 8,4 10,8 8,4 11,2 8,8 10,7 8,6 9,7 9,8 9,5 12,5 9,8 9,5 9,2 7,7. Оценить соответствие распределения результатов испытаний нормальному распределению графическим методом.

Вариант расчёта по примеру 13.1 показан на рис 13.1.

Рис. 13.1. Вариант расчёта и построений по примеру 13.1

Вводим в электронную таблицу номера результатов (хотя бы до 1000 – для возможности пересчёта при других данных). Вводим результаты испытаний и располагаем их в вариационный ряд. Рассчитываем объём испытаний n а также столбцы W (по формуле 13.1) и z (функция НОРМСТОБР, при этом в строку Вероятность диалогового окна функции вводим ссылку на соответствующую накопленную частость). Формулы для W и z копируем хотя бы до 1000 значений – с учётом возможности автоматического пересчёта при вводе других результатов испытаний в большем количестве.

Затем строим точечную диаграмму вида Точечная диаграмма позволяет сравнить пары значений по данным столбцов х и z. Добавляем на диаграмму линейную линию тренда, открыв для этого на точках диаграммы контекстное меню и выбрав команду Добавить линию тренда.

Из графика на рис. 13.1 видно, что точки расположены вблизи прямой, поэтому гипотеза о нормальности распределения результатов испытаний не отвергается.

Задание.

1. Выполнить расчёты по примеру 13.1.

Лабораторная работа № 14 Оценка вида распределения по асимметрии и эксцессу

Асимметрия - это показатель, отражающий степень несимметричности кривой плотности экспериментального распределения по сравнению с плотностью нормального распределения. Эксцесс - показатель, отображающий вытянутость (возвышение) кривой плотности экспериментального распределения по сравнению с плотностью нормального распределения.

По асимметрии и эксцессу можно провести приближенную проверку нормальности распределения результатов испытаний.

Значения асимметрии (А) и эксцесса (Е) рассчитывают так:

Однако в программе Excel вместо этих формул можно использовать статистические функции СКОС (для расчета А) и ЭКСЦЕСС (для расчёта Е).

Дисперсии асимметрии и эксцесса равны

Если и , то распределение результатов испытаний считают нормальным.

Пример 14.1. Проверить гипотезу нормальности распределения результатов испытаний, представленных в ряду 31,74 32,17 32,25 32,28 32,26 32,29 32,28 32,92 32,74 32,63 32,68 32,61 32,48 32,47 32,30 31,60 31,70 32,36 32,46 31,73.

Вариант расчёта по примеру 14.1 показан на рис 14.1.

Рис 14.1. Вариант расчёта по примеру 14.1

Вводим в электронную таблицу номера результатов (хотя бы до 1000 – для возможности пересчёта при других данных). Вводим результаты испытаний и располагаем их в вариационный ряд (в данном случае это не обязательно). Рассчитываем объём испытаний n (функция СЧЁТ), асимметрию (функция СКОС), эксцесс (функция Эксцесс), модуль асимметрии и эксцесса (функция ABS), дисперсию асимметрии и эксцесса, а также и . Далее выводим сообщение о соответствии или несоответствии распределения нормальному. Для этого используем функцию ЕСЛИ. В строку Логическое_выражение диалогового этой функции вводим неравенство . Затем вводим здесь же логическую функцию И, и в открывшемся диалоговом окне вводим в строку Логическое значение 1 неравенство . После этого, установив курсор в строке формул на слово ЕСЛИ, возвращаемся в диалоговое окно функции ЕСЛИ. Здесь в строку Значение_если_истина вводим сообщение «Распределение нормальное», а в строку Значение_если_ложь – сообщение «Распределение не нормальное». В конечном счёте формула будет выглядеть, как показано на рис. 14.1

Задание.

1. Выполнить расчёты по примеру 14.1.