Лабораторная работа № 12 Проверка гипотезы нормальности по совокупности выборок

Если объем испытаний очень мал (n < 8), надёжно оценить вид функции распределения характеристики по одной выборке нельзя. Но если есть результаты испытаний большого числа выборок одного объема n, например, при текущих контрольных испытаниях партий продукции, можно проверить гипотезу нормальности независимых генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, даже если параметры функций распределения этих совокупностей неравны.

Из каждой k-й выборки берут случайным образом один результат x_ik, и рассчитывают для каждой выборки.

При n=4 проверяют соответствие распределения τ равномерному распределению с параметрами a = и b = (о равномерном распределении см. пример 10.3). Если распределение τ равномерное, то исходные генеральные совокупности подчиняются нормальному распределению. Проверка проводится по любому критерию согласия, например, по критерию омега-квадрат.

При n ≠ 4 вычисляют . Если h подчиняется распределению Стьюдента с числом степеней свободы n-2, то исходные генеральные совокупности подчиняются нормальному распределению. Проверка проводится по любому критерию согласия, например, по критерию омега-квадрат.

Учитывая лёгкость автоматического пересчёта, целесообразно провести проверку по критерию согласия многократно, каждый раз выбирая случайным образом новые значения x_ik.

Пример 12.1. В лаборатории систематически проводили испытания партий бумаги различных марок на воздухопроницаемость. Значение воздухопроницаемости, см₃/мин, находили как среднее из пяти определений. Результаты приведены в табл. 12.1.

Таблица 12.1.

№ партии	Номер образца					№ партии	Номер образца
	1	2	3	4	5		1	2	3	4	5
1	450	465	440	440	470	21	134	140	140	140	134
2	500	490	510	510	510	22	385	365	400	415	375
3	195	185	200	195	190	23	65	68	66	64	63
4	280	270	275	260	275	24	350	375	365	370	380
5	235	240	230	240	235	25	210	220	224	210	228
6	240	230	250	245	245	26	150	166	156	158	160
7	106	106	110	110	110	27	154	158	168	156	154
8	250	250	245	260	245	28	250	260	265	280	270
9	470	480	460	490	485	29	405	390	410	420	410
10	194	184	196	206	206	30	71	75	73	72	77
11	265	270	250	275	275	31	185	198	196	194	206
12	87	92	88	92	90	32	455	440	425	455	440
13	96	96	91	94	97	33	500	480	510	500	500
14	230	236	240	240	236	34	158	148	164	156	156
15	490	470	500	510	500	35	250	240	245	245	230
16	65	64	65	62	62	36	200	208	196	210	204
17	89	92	94	86	89	37	196	208	220	212	214
18	55	55	59	52	51	38	60	63	60	66	57
19	99	100	104	97	95	39	220	220	226	208	206
20	96	96	91	94	97	40	480	470	450	485	460

Проверить, соответствуют ли распределения величин воздухопроницаемости в выборках нормальным при уровне значимости 0,95.

Фрагмент выполнения примера 12.1 показан на рис. 12.1.

Рис.12.1. Фрагмент выполнения примера 12.1.

Поскольку n ≠ 4, необходимо рассчитать значения η для каждой выборки и оценить соответствие распределения η распределению Стьюдента.

Вводим исходные данные (предусмотреть количество выборок до 1000), по любой из выборок находим объём единичной выборки n (функция СЧЁТ). Для каждой выборки находим среднее значение и выборочное СКО.

Затем из каждой выборки берём одно случайно выбранное значение x_ik. Для этого по функции СЛЧИС() находим случайное число в диапазоне 0..1, и умножая его на объём одной выборки, получаем случайное число в диапазоне от 0 до объёма выборки (столбец сл. число). При этом изначально выбранные случайные числа будут меняться при каждом изменении таблицы, однако это не имеет значения, т.к. всё равно они будут случайными, что и нужно. Округляя это число до целого в сторону увеличения (функция ОКРУГЛВВЕРХ), получаем случайно выбранный номер элемента выборки (столбец i сл). С помощью функции ИНДЕКС по этому номеру находим значение случайно выбранного элемента выборки. Далее рассчитываем величины τ и η. Диапазон со значениями η копируем в электронную таблицу, в которой по критерию омега-квадрат оценивается соответствие экспериментального распределения распределению Стьюдента (команда Копировать - Специальная вставка - Значения). Перед копированием необходимо временно снять защиту листа, иначе будет недоступна сортировка η по возрастанию, т.е. в вариационный ряд. Следует также ввести нужные значения числа степеней свободы и уровня значимости.

Пример 12.2. В лаборатории систематически проводили испытания партий противокоррозионной бумаги различных марок на содержание ингибитора. Содержание ингибитора в бумаге, г/м₂, находили как среднее из четырёх определений. Результаты за некоторый период приведены в табл. 12.2. Проверить, соответствуют ли распределения величин содержания ингибитора в выборках нормальным при уровне значимости 0,95.

Для выполнения примера используем электронную таблицу, созданную в примере 12.1, т.е. вводим в неё (предварительно скопировав таблицу на отдельный лист) результаты испытаний (последний столбец для данных будет пустым).

Таблица 12.2.

№ партии	Номер образца				№ партии	Номер образца
	1	2	3	4		1	2	3	4
1	8,1	7,9	8,5	8,3	26	4,5	4,7	4,2	4,3
2	7,8	8,2	8,2	8,2	27	8,3	7,9	8,2	8,1
3	9	8,8	8,6	8,6	28	8,3	7,8	8,2	8,3
4	3,5	3,6	3,8	3,8	29	8,8	9,1	8,7	8,7
5	8,7	8,8	8,5	8,9	30	3,7	3,5	3,8	3,8
6	3,8	3,8	3,9	3,9	31	8,9	8,8	8,4	8,5
7	4,1	4	3,9	3,9	32	3,8	3,8	4	3,9
8	9,2	9,1	9,1	9,2	33	4,1	4,1	3,9	4,1
9	8,8	8,7	8,8	8,9	34	9,4	9,1	9,3	9,2
10	3,6	3,6	3,5	3,7	35	8,8	8,7	8,8	8,9
11	3,8	3,8	3,8	3,9	36	3,6	3,6	3,5	3,7
12	2,9	3,2	3,1	2,9	37	3,9	3,8	3,8	3,9
13	3,7	3,6	3,5	3,6	38	2,9	3,2	3,1	2,9
14	3,5	3,6	3,5	3,7	39	3,7	3,6	3,6	3,4
15	3,4	3,5	3,6	3,6	40	3,5	3,3	3,5	3,7
16	8,3	8,2	8,3	8,3	41	3,4	3,5	3,6	3,6
17	8,7	8,9	8,9	8,6	42	8,4	8,4	8,3	8,4
18	9,1	9,2	9,3	9,2	43	8,7	8,9	8,8	8,6
19	9,1	9,1	9	9	44	9,2	9,4	9,3	9
20	3,8	3,8	3,6	3,6	45	9,1	9	8,8	9,2
21	3,5	3,6	3,7	3,6	46	3,8	3,8	3,6	3,6
22	3,4	3,4	3,4	3,3	47	3,5	3,6	3,7	3,6
23	4,1	4,1	4,3	4,1	48	3,4	3,4	3,4	3,3
24	2,8	2,9	3	3	49	4,1	4,1	4,2	3,9
25	3,6	3,6	3,7	3,7	50	2,8	2,8	3,1	3

Поскольку n = 4, необходимо оценить соответствие распределения величины τ равномерному распределению.

Диапазон со значениями τ копируем в электронную таблицу, в которой по критерию омега-квадрат оценивается соответствие экспериментального распределения равномерному (команда Копировать - Специальная вставка - Значения). Перед копированием временно снять защиту листа, иначе будет недоступна сортировка τ по возрастанию, т.е. в вариационный ряд. Следует также ввести нужные значения параметров равномерного распределения и уровня значимости.

Задание.

1. Выполнить расчёты по примеру 12.1. Для различных уровней значимости провести проверку нормальности десять раз при изменяющихся случайных числах. Результаты занести в табл. 12.3.

Таблица 12.3.

№ проверки	Соответствие воздухопроницаемости нормальному распределению (+/-)
	α = 0,01			α = 0,05			α =0,1
	ω2	ω2табл	+/-	ω2	ω2табл	+/-	ω2	ω2табл	+/-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
% для +

2. Выполнить расчёты по примеру 12.2. Для различных уровней значимости провести проверку нормальности десять раз при изменяющихся случайных числах. Результаты занести в табл. 12.4.

Таблица 12.4.

№ проверки	Соответствие содержания ингибитора нормальному распределению (+/-)
	α = 0,01			α = 0,05			α =0,1
	ω2	ω2табл	+/-	ω2	ω2табл	+/-	ω2	ω2табл	+/-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
% для +