Лабораторная работа № 11 Критерий Колмолгорова

Критерий Колмогорова (другое название – критерий Колмогорова-Смирнова) достаточно надёжен при n ≥ 15 для проверки гипотезы, подчиняется ли случайная величина некоторому закону распределения, если известны его параметры (простая гипотеза). Проверка может проводиться для любого вида распределения. Критерий основан на определении максимального отклонения накопленной частости (эмпирической функции распределения) от теоретической функции распределения.

Результаты испытаний располагают в вариационном ряду. Находят верхнюю и нижнюю границы соответствующего отклонения:

при 1 ≤ I ≤ n (11.1)

при 1 ≤ i ≤ n (11.2)

Здесь F(x_i) – значения теоретической функции предполагаемого распределения.

Выбирают максимальную из границ отклонений:

(11.3)

Статистику критерия можно рассчитать по формуле

Расчётное значение сравнивают с табличным λ_табл, значения которого приведены в табл. 11.1.

Таблица 11.1.

α	0,1	0,05	0,01
λтабл	1,224	1,358	1,628

Если λ_расч ≤ λ_табл, то распределение считают соответствующим теоретическому с функцией распределения F(x) с известными параметрами при выбранном уровне значимости α.

Если параметры предполагаемого распределения заранее неизвестны, критерий, называемый в этом случае «критерий типа Колмогорова», может использоваться только для некоторых видов распределений, с использованием вместо параметров их выборочных оценок. При этом определяется, принадлежит ли распределение случайной величины тому или иному семейству распределений, например, нормальных, экспоненциальных и др. (сложная гипотеза). Так, для нормального распределения результаты испытаний располагают в вариационном ряду. Находят D_n по формулам (11.1) – (11.3), с учётом того, что F(x_i) – значения функции нормального распределения (функция НОРМРАСП, в строке Интегральная диалогового окна ввести слово ИСТИНА) с параметрами М и σ, соответствующими их оценкам и s; Статистику критерия для нормального распределения можно рассчитать по формуле

(11.4)

Расчётное значение сравнивают с табличным λ_табл, значения которого приведены в табл. 11.2.

Таблица 11.2.

α	0,1	0,05	0,01
λтабл	0,819	0,895	1,035

Если λ ≤ λ_табл, то нулевую гипотезу не бракуют, т.е. распределение считают соответствующим предполагаемому.

Пример 11.1. По данным примера 10.1 по критерию Колмогорова проверить гипотезу о нормальном распределении относительного сужения сплава алюминия при различных уровнях значимости. Предусмотреть возможность расчёта для объёма испытаний до 1000.

Вариант выполнения примера 11.1 показан на рис. 11.1.

Поскольку параметры предполагаемого нормального распределения неизвестны, значение критерия Колмогорова рассчитываем по формуле (11.4). Значения , и рассчитываем с использованием функции МАКС.

Рис.11.1. Вариант расчёта для примера 11.1.

Задание.

1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 11.1.

2. По данным примера 10.2 проверить гипотезу о распределении Стьюдента непрерывной случайной величины Х при различных уровнях значимости.

3. По данным примера 10.2 проверить гипотезу о нормальном стандартном распределении непрерывной случайной величины Х при различных уровнях значимости (Функция нормального стандартного распределения находится по статистической функции НОРМСТРАСП, её параметры, М = 0 и σ = 1, вводить с клавиатуры не надо, т.к. они учтены в НОРМСТРАСП).

4. По данным примера 10.2 проверить гипотезу о равномерном распределении непрерывной случайной величины Х с параметрами a=-2,2 и b=1,7 при различных уровнях значимости.

5. Привести результаты расчётов в заданиях 1 – 3 в табл. 113.

Таблица 11.3.

№	Проверяемое распределение	Параметры распределения	Соответствие предполагаемому распределению (+/-)
			α = 0,01			α = 0,05			α =0,1
			λ	λ табл	+ -	λ	λ табл	+ -	λ	λ табл	+ -
11.1	Нормальное	Неизв.
10.2	Стьюдента	k =
10.2	Нормальное стандартное	М = σ =
10.2	Равномерное	a = b =