2. Постановка задачи

F(x)=2x₁-x₂-8x₃-4x₄ ->min - целевая функция

-2x₁+3x₂-x₃-8x₄<=18 - условия

3x₁-2x₂+2x₃-3x₄<=24

-x₁-3x₂+4x₃-2x₄<=36

x_j>=0,j:1,2,3,4

3. Решение задачи аналитическим методом

Исходные данные:

F(x)=2x₁-x₂-8x₃-4x₄ ->min - целевая функция

-2x₁+3x₂-x₃-8x₄<=18 - условия

3x₁-2x₂+2x₃-3x₄<=24

-x₁-3x₂+4x₃-2x₄<=36

x_j>=0,j:1,2,3,4

Приведем систему ограничений к каноническому виду, для этого необходимо неравенства преобразовать в равенства, с добавлением дополнительных переменных. Если в преобразуемом неравенстве стоит знак ≥, то при переходе к равенству знаки всех его коэффициентов и свободных членов меняются на противоположные. Тогда система запишется в виде:

2x₁-3x₂+1x₃+8x₄+x₅=-18

-3x₁+2x₂-2x₃+3x₄+x₆=-24

1x₁+3x₂-4x₃+2x₄+x₇=-36

Переходим к формированию симплекс таблицы. В строку F Таблицы заносятся коэффициенты целевой функции.

Из данных задачи составляем исходную симплекс таблицу (таблица 3).

Таблица 3 – Исходная симплекс таблица

	X1	X2	X3	X4	Свободные члены
F	2	-1	-3	-4	0
X5	2	-3	1	8	-18
X6	-3	2	-2	3	-24
X7	1	3	-4	2	-36

В составленной нами таблице имеются отрицательные элементы в столбце свободных членов, находим среди них максимальный по модулю - это элемент: -36, он задает ведущую строку - X7. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент: -4 он находится в столбце X3, который будет ведущим столбцом. Переменная в ведущей строке исключается из базиса, а переменная соответствующая ведущему столбцу включается в базис. Пересчитаем симплекс-таблицу (таблица 4):

Таблица 4 – Пересчитанная таблица

	X1	X2	X7	X4	Свободные члены
F	1.25	-3.25	-0.75	-5.5	27
X5	2.25	-2.25	0.25	8.5	-27
X6	-3.5	0.5	-0.5	2	-6
X3	-0.25	-0.75	-0.25	-0.5	9

В составленной нами таблице имеются отрицательные элементы в столбце свободных членов, находим среди них максимальный по модулю - это элемент: -27, он задает ведущую строку - X5. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент: -2.25 он находится в столбце X2, который будет ведущим столбцом. Переменная в ведущей строке исключается из базиса, а переменная соответствующая ведущему столбцу включается в базис. Пересчитаем симплекс-таблицу (таблица 5):

Таблица 5 – Пересчитанная таблица

	X1	X5	X7	X4	Свободные члены
F	-2	-1.444	-1.111	-17.778	66
X2	-1	-0.444	-0.111	-3.778	12
X6	-3	0.222	-0.444	3.889	-12
X3	-1	-0.333	-0.333	-3.333	18

В составленной нами таблице имеются отрицательные элементы в столбце свободных членов, находим среди них максимальный по модулю - это элемент: -12, он задает ведущую строку - X6. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент: -3 он находится в столбце X1, который будет ведущим столбцом. Переменная в ведущей строке исключается из базиса, а переменная соответствующая ведущему столбцу включается в базис. Пересчитаем симплекс-таблицу (таблица 6):

Таблица 6 – Пересчитанная таблица

	X6	X5	X7	X4	Свободные члены
F	-0.667	-1.592	-0.815	-20.371	74
X2	-0.333	-0.518	0.037	-5.074	16
X1	-0.333	-0.074	0.148	-1.296	4
X3	-0.333	-0.407	-0.185	-4.629	22

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. В строке F имеются отрицательные элементы, это означает что полученное решение не оптимально. Определим ведущий столбец. Для этого найдем в строке F максимальный по модулю отрицательный элемент - это -20.371 Ведущей строкой будет та, для которой отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца минимально. 

Так как полученный нами ведущий элемент отрицателен, целевая функция не ограничена снизу, в области допустимых решений задачи.

4. Создание приложения для решения задачи

4.1 Описание алгоритма

Ниже приведен алгоритм (рисунок 1) работы программы в упрощенном виде, для лучшего восприятия хода работы программы.

Рисунок 1 - Алгоритм работы программы

4.2 Разработка программы

Для программной реализации задачи коммивояжера был использован язык программирования Delphi 7. Для оформления формы были использованы такие компоненты как: button (кнопка расчета симплекс таблицы), StringGrid (содержит симплекс таблицу).

4.3 Тестирование программы

Введем исходные данные в таблицу StringGrid (рисунок 2):

Рисунок 1 - Ввод исходных данных

Нажимаем кнопку «Пересчитать симплексную таблицу» пока не вылезет подобное окошечко - результат (рисунок 4):

Рисунок 1 - Результат работы

4.4 Руководство пользователя

Запустив приложение Project.exe, перед Вами откроется окно, предоставляющее возможность решать задачи симплекс-метода, где количество переменных всегда -4, а количество ограничений всегда -3.

Для Слежения за выполнением пересчета симплекс-таблицы, программа высчитывает по 1 итерации за 1 нажатие кнопки.

В случаи неверно введенных данных, программа выдаст ошибку.

Дробные числа нужно вводить через «.», иначе программа выдаст ошибку.

При нажатии кнопки «Ок» в выплывающем сообщении программа закроется.

Закрывается программа при помощи красного крестика в правом верхнем углу программы.

Программа является «разовой», т. е. для расчета следующей задачи нужно закрыть и открыть программу званого.