3. Симплекс-метод решения злп

Сформулируем ЗЛП (задачи линейного программирования) на минимум с ограничениями в виде уравнений

F = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_mx_m → min (5)

(6)

, где i=1..n

В случае если в исходной задаче необходимо найти минимум - знаки коэффициентов целевой функции F меняются на противоположные a_0,n=-a_0,n. Знаки коэффициентов ограничивающих условий со знаком "≥" так же меняются на противоположные. В случае если условие содержит знак "≤" – коэффициенты запишутся без изменений.

При решении ЗЛП симплексным методом требуется, что бы система уравнений, задающих специальные ограничения задачи математического программирования была приведена к допустимому виду. Приведение к допустимому виду предполагает выражение части переменных, а именно базисных, через остальные неизвестные.

Допустимым базисом называется весь набор основных неизвестных.

Свободными называются неизвестные, которые не входят в базис.

Идея симплекс метода заключается в том, что от данного базиса перейти к другому базису с таким расчетом, чтобы значение целевой функции при этом изменилось в нужном направлении.

Способ сведения любой задачи линейного программирования к стандартной:

f(x) ≥ b f(x) ≤ b

f(x)-x_e= 0 f(x)+x_m=b

x_e ≥ 0 x_m ≥ 0

Систему ограничений и целевую функцию представляют в виде таблицы.

При составлении исходной симплекс таблицы, коэффициенты при переменных функции F записываются с противоположными знаками, а свободный член со своим знаком.

Таблица 1 – Исходные данные

	x1	x2	...	xn-1	xn	b
F	-a0,1	-a0,2	...	-a0,n-1	-a0,n	-b0
xn+1	a1,1	a1,2	...	a1,n-1	a1,n	b1
xn+2	a2,1	a2,2	...	a2,n-1	a2,n	b2
...	...	...	...	...	...	...
xn+m	am,1	am,2	...	am,n-1	am,n	bm

Проверка на допустимость.

Проверяем на положительность элементы столбца b (свободные члены), если среди них нет отрицательных то найдено допустимое решение (решение соответствующее одной из вершин многогранника условий) и мы переходим к шагу 2.Если в столбце свободных членов имеются отрицательные элементы то выбираем среди них максимальный по модулю - он задает ведущую строку k. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент a_k,l - он задает ведущий столбец - l и является ведущим элементом. Переменная, соответствующая ведущей строке исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу включается в базис. Пересчитываем симплекс-таблицу согласно правилам.

Если же среди свободных членов есть отрицательные элементы - а в соответствующей строке - нет то условия задачи несовместны и решений у нее нет.

Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицательные элементы, то переходим к снова к проверке на допустимость, если таких нет, то к проверке на оптимальность.

Проверка на оптимальность

Если среди элементов симплексной таблицы, находящихся в строке F (не беря в расчет элемент b₀ - текущее значение целевой функции) нет отрицательных, то найдено оптимальное решение.

Если в строке F есть отрицательные элементы то решение требует улучшения. Выбираем среди отрицательных элементов строки F максимальный по модулю (исключая значение функции b₀)

Cтолбец в котором он находится будет ведущим - k. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответствующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они неотрицательны. При a_k,i > 0, b_i > 0 и i - строка, для которой это отношение минимально – ключевая. Элемент a_k,i - разрешающий

b_i / a_k,i = min {b_i / a_k,i} (7)

Переменная, соответствующая ведущей строке исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу включается в базис.

Пересчитываем симплекс-таблицу согласно правилам.

Если в новой таблице после перерасчета в строке F остались отрицательные элементы повторяем проверку на оптимальность.

Если невозможно найти ключевую строку, так как нет положительных элементов в ключевом столбце, то функция в области допустимых решений задачи не ограничена - алгоритм завершает работу.

Если в строке F и в столбце свободных членов все элементы положительные, то найдено оптимальное решение.

Правила преобразований симплексной таблицы.

При составлении новой симплекс-таблицы в ней происходят следующие изменения:

• вместо базисной переменной x_k записываем x_l; вместо небазисной переменной x_l записываем x_k.

• ведущий элемент заменяется на обратную величину a_k,l'= 1/a_k,l

• все элементы ведущего столбца (кроме a_k,l) умножаются на -1/a_k,l

• все элементы ведущей строки (кроме a_k,l) умножаются на 1/a_k,l

• оставшиеся элементы симплекс-таблицы преобразуются по формуле

a_i,j'= a_i,j- (a_i,l*a_k,j)/ a_k,l (9)