1.2 Канонический вид злп

В канонической форме задача является задачей на минимум (максимум) некоторой линейной функции F, ее система ограничений состоит только из равенств (уравнений).

(2)

x₁≥0, x₂≥0,...,x_n≥0

F=c₁x₁+c₂x₂+...+c_nx_n->max(min) (3)

К канонической форме можно преобразовать любую задачу линейного программирования.

Правило приведения ЗЛП к каноническому виду:

1. Если в исходной задаче некоторое ограничение (например, первое) было неравенством, то оно преобразуется в равенство, введением в левую часть некоторой неотрицательной переменной, при чем в неравенства «≤» вводится дополнительная неотрицательная переменная со знаком «+»; в случаи неравенства «≥» - со знаком «-»;

2. Если в исходной задаче некоторая переменная не подчинена условию неотрицательности, то ее заменяют (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью неотрицательных переменных;

3. Если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на (-1);

4. Наконец, если исходная задача была задачей на минимум, то введением новой целевой функции F₁ = -F мы преобразуем нашу задачу на минимум функции F в задачу на максимум функции F₁.

Таким образом, всякую задачу линейного программирования можно сформулировать в канонической форме.

3. Матричная форма

Каноническая задача линейного программирования в матричной форме записи имеет вид:

Z(X)=C*X->max(min) (4)

AX=A₀

X≥0

где:

A= ,

X= ,

A₀= .

Здесь A – матрица коэффициентов системы уравнений, X – матрица-столбец переменных задачи; A₀ – матрица-столбец правых частей системы ограничений.

3. Графический метод решения злп

Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи. Каждое из неравенств задачи линейного программирования определяет на координатной плоскости (x₁Ox₂) некоторую полуплоскость, а система неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений. ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи ОДР является пустым множеством.

ЦФ L(x)=c₁x₁+c₂x₂ при фиксированном значении L(x)=L определяет на плоскости прямую линию c₁x₁+c₂x₂=L. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня. Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси Ox₂ (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой останется постоянным. Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.

Вектор с координатами из коэффициентов ЦФ при x₁ и x₂ перпендикулярен к каждой из линий уровня. Направление вектора совпадает с направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания ЦФ противоположно направлению вектора.

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора C в ОДР производится поиск оптимальной точки x*=(x₁*, x₂*). Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня L_max(L_min), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции L(x). Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне. При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны следующие ситуации:

• существует единственное решение задачи;

• существует бесконечное множество решений (альтернативный оптимум);

• ЦФ не ограничена;

• область допустимых решений – единственная точка;

• задача не имеет решений.

Методика решения ЗЛП графическим методом:

1. В ограничениях задачи заменить знаки неравенств знаками точных равенств и построить соответствующие прямые;

2. Найти и заштриховать полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи;

3. Определить ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделить ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решений;

4. Если ОДР – не пустое множество, то нужно построить целевую прямую, т.е. любую из линий уровня c₁x₁+c₂x₂=L (где L – произвольное число, например, кратное c₁ и c₂, т.е. удобное для проведения расчетов). Способ построения аналогичен построению прямых ограничений;

5. Построить вектор , который начинается в точке (0;0) и заканчивается в точке (c₁, c₂). Если целевая прямая и вектор построены верно, то они будут перпендикулярны;

6. При поиске максимума ЦФ необходимо передвигать целевую прямую в направлении вектора , при поиске минимума ЦФ – против направления вектора . Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой максимума или минимума ЦФ. Если такой точки (точек) не существует, то можно сделать вывод о неограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске максимума) или снизу (при поиске минимум);

7. Определить координаты точки max (min) ЦФ x*=(x₁*, x₂*)и вычислить значение ЦФ L(x*). Для вычисления координат оптимальной точки x* необходимо решить систему уравнений прямых, на пересечении которых находится x*.